2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.3空间向量运算的坐标表示课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知向量i，j，k是一组单位正交向量，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n等于()A．7B．－20C．28D．11解析：m＝(0,8,3)，n＝(－1,5，－4)，∴m·n＝40－12＝28.答案：C2．已知A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是()A．(2,4，－1)B．(2,3,1)C．(－3,1,5)D．(5,13，－3)解析：由题意，AB＝(－2，－6，－2)，设点D(x，y，z)，则DC＝(3－x,7－y，－5－z)．因为AB＝DC，所以x＝5，y＝13，z＝－3.答案：D3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋2c|等于()A．3B．2C.D．5解析：∵a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋2(3,1,0)＝(9,3,0)，∴|a－b＋2c|＝＝3.答案：A4．若a＝(0,1，－1)，b＝(3,2＋x2，x2)，且(a＋λb)⊥a，则实数λ的值是()A．－1B．0C．1D．－2解析：由(a＋λb)⊥a知，(a＋λb)·a＝0，即a2＋λa·b＝0，∴2＋λ(2＋x2－x2)＝0，∴λ＝－1，故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A(－1,3,1)、B(－1,3,4)、D(1,1,1)，若AP＝2PB，则|PD|的值是________．解析：设点P(x，y，z)，则由AP＝2PB，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，则，解得，即P(－1,3,3)，则|PD|＝＝＝2.答案：26．已知点A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，则△ABC的形状是________．解析：∵AC＝(5,1，－7)，BC＝(2，－3,1)，∴AC·BC＝5×2＋1×(－3)＋(－7)×1＝0，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，又∵|AC|≠|BC|，∴△ABC为直角三角形．答案：直角三角形三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，以及点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．求：(1)|2a＋b|；(2)在直线AB上是否存在一点E，使OE⊥b(O为原点)．解析：(1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，所以|2a＋b|＝＝5.(2)OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，若OE⊥b，则OE·b＝0，即－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，故存在点E，使OE⊥b，此时E点坐标为(－，－，)．8．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，(1)若DB∥AC，DC∥AB，求点D的坐标；(2)问是否存在实数x、y，使得AC＝xAB＋yBC成立？若存在，求x、y的值；若不存在，说明1理由．解析：(1)设点D的坐标为(x，y，z)，∴DB＝(－x,1－y，－z)，AC＝(－1,0,2)，DC＝(－x，－y,2－z)，AB＝(－1,1,0)．∵DB∥AC，DC∥AB，∴⇒此时点D(－1,1,2)．(2)∵AB＝(－1,1,0)，AC＝(－1,0,2)，BC＝(0，－1,2)．假设存在x、y∈R满足条件，则由已知可得(－1,0,2)＝x(－1,1,0)＋y(0，－1,2)，即(－1,0,2)＝(－x，x,0)＋(0，－y,2y)＝(－x，x－y,2y)．∴⇒⇒x＝y＝1.∴存在实数x＝1，y＝1使得结论成立．☆☆☆9.(10分)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有的棱长均为2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得AB1与MN所成的夹角为？解析：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，由已知，棱长都等于2，所以A(0,0,0)、B(，1,0)、C(0,2,0)、B1(，1,2)、M.假设存在点N在棱CC1上，可以设N(0,2，m)(0≤m≤2)，则有AB1＝(，1,2)，MN＝，∴|AB1|＝2，|MN|＝，AB1·MN＝(，1,2)·＝2m－1.cos〈AB1，MN〉＝cos＝＝＝－，解得m＝－.这与0≤m≤2矛盾，所以在棱CC1上不存在点N，使得AB1与MN所成的夹角为.2
