高二数学求数列的和的方法北师大版必修5知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学求数列的和的方法北师大版必修5【本讲教育信息】一、教学内容：必修5求数列的和的方法二、教学目标（1）熟练地掌握等差数列、等比数列求和公式及其应用。（2）体会并掌握用倒序相加、错位相减、裂项、并项等数学方法求数列的前n项的和。三、知识要点分析1、求等差、等比数列的前n项和。若由已知条件可以判断一个数列是等差、等比数列，或可以转化为等差数列、等比数列的，则可用等差、等比数列求和公式求数列的前n项的和。2、对于非等差、等比数列求和，可采用下面的方法求：（1）倒序相加法：将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加的方法求和。（2）错位相减法：这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要求数列（其中数列是等差数列，数列是等比数列）的前n项的和。（3）裂项法：求数列的前n项和时，若能将拆分为：的形式则，常见的裂项公式有：（i）数列是公差为d的等差数列，则如（ii）。（4）并项法：已知数列的相邻两项的和是相等的，可以采用并项法。（5）公式法（利用公式直接求和），如：，（以上的公式在数列求和中常用，要熟练地掌握）【典型例题】考点一：等差、等比数列或可以转化为等差、等比数列的数列的求和例1、（1）求和：12+1122+111222++11112222（2）求和：2+（4+6）+（8+10+12）++（n个偶数）【思路分析】（1）由所给出的和式观察得到数列的通项公式，然后化简通项。（2）数列的第n项有n个偶数，在它的前n项和中共有个偶数，故其前n项和用心爱心专心可以看作是首项为2，公差为2，项数为的等差数列。解：（1）该数列的通项是利用等比数列求和公式得：（2）根据等差数列求和公式得：。考点二：利用倒序相加的方法求和。例2、已知函数，是函数f（x）的图像上的两点，且线段，（1）求证：点P的纵坐标是定值。（2）若数列的通项公式是n=1，2，…，m），求数列的前m项的和。【思路分析】（1）由中点坐标公式得：，再可证。（2）利用倒序相加的方法求和。解：（1），下面把代入上式得：，为定值。（2）由（1）可知：对任意的非零自然数m，n，由于：，故采用倒序相加的方法求和。①①+②得：即：.用心爱心专心考点三：利用错位相减法求数列的前n项的和例3、求和：【思路分析】在上述求和的式子中，可知：数列的通项公式是显然，数列{Cn}是由等比数列和等差数列{n}组成的，故采用错位相减法。解：（i）当a=1时。（ii）当…………（1），在（1）的两边同乘以得：（2）（1）－（2）得：考点四：利用裂项法求数列的前n项的和例4、（1）已知不等的正数成等比数列，且求证：（2）在平面直角坐标系中，有一点列对于每一个任意的自然数n，点列都在曲线上，且点，若。【思路分析】（1）由已知数列成等比数列，则，故等式的左边数列中的通项，可用裂项法求左边的和即可得证（2）由已知求出，然后利用裂项法求之。解：（1）由是等比数列，故=右边，即结论成立。（2），又化简得：用心爱心专心。考点五：利用并项法求数列的前n项的和。例5、求和：【思路分析】观察数列中的项：故可用并项法求和。但要讨论数列中的项数n，项数n有奇数和偶数两种情形。解：（i）当n=2k（k是正整数）时。=n（ii）当项数n=2k－1（k是正整数）时故考点六：利用公式法求数列的前n项的和例6、（1）已知数列（2）求和：【思路分析】（1）关键是表示出，然后利用公式求和。（2）从和式中观察通项，然后转化为自然数的立方和、平方和等求和公式计算。解：（1），（2）=。【本讲涉及的数学思想、方法】本讲讲述了数列求和常用的方法，在解决数列求和问题时，体现了化归的数学思想，（如有的非等差、等比数列求和时转化化为等差、等比数列的求和）在无法化为等差、等比数列的求和中，根据和式的特点采用了倒序相加、错位相减、裂项、并项等数学方法求数列的和。用心爱心专心预习导学案（正弦定理，余弦定理）一、预习前知：若三角形ABC是直角三角形，∠C是直角，∠A，∠B，∠C三角所对的边分别是a，b，c写出sinA，sinB，sinC，由你写出的式子能得到：吗？这一结论在锐角三角形中成立吗？在钝角三角形...