高二数学期末复习之椭圆http://www.dearedu.com一.典型例题例1求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2）在轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．(1)或．(2)例2.求焦点在坐标轴上，且经过和两点的椭圆的标准方程．例3在椭圆上求一点，使，其中，是椭圆的两焦点．方案一：由题意得，，解方程得，或．再设，则有或，解方程即可．方案二：设，由椭圆的第二定义得，，，，∴，，．例4.的底边，和两边上中线长之和为30，求此三角形重心的轨迹和顶点的轨迹．的轨迹方程为，其轨迹是椭圆（除去轴上两点）．例5.已知椭圆的中心在原点，且经过点，，求椭圆的标准方程．或例6.求椭圆上的点到直线的距离的最小值．例7.已知点在圆上移动，点在椭圆上移动，求的最大值．设椭圆上一点，又，于是．而∴当时，有最大值5．故的最大值为6例8.已知椭圆及直线．（1）当为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程．解：（1）把直线方程代入椭圆方程得，即．，解得．（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为，，由（1）得，．根据弦长公式得．解得．因此，所求直线的方程为．例9.以椭圆的焦点为焦点，过直线上一点作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点应在何处？并求出此时的椭圆方程．解：如图所示，椭圆的焦点为，．点关于直线的对称点的坐标为（－9，6），直线的方程为．解方程组得交点的坐标为（－5，4）．此时最小．所求椭圆的长轴，因此，所求椭圆的方程为．例10.已知椭圆，（1）求过点且被平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点、，为原点，且有直线、斜率满足，求线段中点的轨迹方程．解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得，⑧，⑨将⑧⑨代入⑦得，⑩再将代入⑩式得，即．二.巩固练习1．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（D）A．B．（0，2）C．D．（0，1）2．过点（3，－2）且与有相同焦点的椭圆方程是（A）A．B．C．D．3．已知椭圆的焦点，，是椭圆上一点，且是，的等差中项，则椭圆的方程是（C）．A．B．C．D．4．已知，是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（B）．A．B．C．D．5．对于椭圆，下列说法正确的是（D）．A．焦点坐标是B．长轴长是5C．准线方程是D．离心率是6．离心率为、且经过点的椭圆的标准方程为（D）．A．B．或C．D．或7．椭圆的左、右焦点为，，以为圆心作圆过椭圆中心并交椭圆于点，，若直线是⊙的切线，则椭圆的离心率为（D）．A．B．C．D．8．如果椭圆的弦被点平分，那么这条弦所在的直线的方程是（D）A．B．C．D．9．直线与椭圆恒有公共点，则的取值范围是（C）A．B．C．D．10．已知椭圆的方程为，如果直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则的值为（B）A．2B．C．D．811．点是椭圆上一点，以点以及焦点、为顶点的三角形的面积等于1，则点的坐标为_________．或或或．12．点是椭圆上一点，是其焦点，若，则的面积为_________________．13．已知，是椭圆内的点，是椭圆上的动点，则的最大值为______________，最小值为___________．，14．如图在中，，，则以为焦点，、分别是长、短轴端点的椭圆方程是______________．15．已知是椭圆上一点，若到椭圆右准线的距离是，则到左焦点的距离为_____________．16．若椭圆的离心率为，则它的长半轴长是______________．1或217．若椭圆上存在点到两焦点的连线互相垂直，则椭圆离心率的取值范围是_____________．18．设椭圆上动点到定点的距离最小值为1，则的值为_________19．已知直线交椭圆于，两点，点坐标为（0，4），当椭圆右焦点恰为的重心时，求直线的方程．设，，由及为的重心有，得，，．...
