第3章三角函数、解三角形第5节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．(2014·课标Ⅱ，14,5分)函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sinφcos(x＋φ)的最大值为________．解析：f(x)＝sin[(x＋φ)＋φ]－2sinφcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cosφ－cos(x＋φ)sinφ＝sin(x＋φ－φ)＝sinx，因为x∈R，所以f(x)的最大值为1.答案：12．(2014·江苏，15,14分)已知α∈，sinα＝.(1)求sin的值；(2)求cos的值．解析：(1)因为α∈，sinα＝，所以cosα＝－＝－.故sin＝sincosα＋cossinα＝×＋×＝－.(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××＝－，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×2＝，所以cos＝coscos2α＋sinsin2α＝×＋×＝－.3．(2014·四川，16,12分)已知函数f(x)＝sin.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f＝coscos2α，求cosα－sinα的值．解：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为－＋2kπ，＋2kπ，k∈Z，由－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z.所以，函数f(x)的单调递增区间为－＋，＋，k∈Z.(2)由已知，有sin＝cos(cos2α－sin2α)，所以sinαcos＋cosαsin＝cosαcos－sinα·sin(cos2α－sin2α)，即sinα＋cosα＝(cosα－sinα)2(sinα＋cosα)．当sinα＋cosα＝0时，由α是第二象限角，知α＝＋2kπ，k∈Z.此时，cosα－sinα＝－.当sinα＋cosα≠0时，有(cosα－sinα)2＝.由α是第二象限角，知cosα－sinα<0，此时cosα－sinα＝－.综上所述，cosα－sinα＝－或－.4．(2013四川，5分)设sin2α＝－sinα，α∈，则tan2α的值是________．解析：本题考查同角三角函数的基本关系与倍角公式，意在考查考生的运算能力及符号取舍的判断能力．因为sin2α＝－sinα，所以2sinαcosα＝－sinα，cosα＝－.又α∈，所以α＝，tan2α＝tan＝.答案：5．(2013新课标全国Ⅱ，5分)设θ为第二象限角，若tan＝，则sinθ＋cosθ＝________.解析：本题考查同角三角函数关系式以及两角和三角函数公式的基本运用，意在考查考生灵活运用知识解决问题的能力以及合理选取解法的能力．法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sinθ＋cosθ＝sin＝－.法二：如果将tan＝利用两角和的正切公式展开，则＝，求得tanθ＝－.又因为θ在第二象限，则sinθ＝，cosθ＝－，从而sinθ＋cosθ＝－＝－.答案：－6．(2013重庆，12分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.(1)求C；(2)设cosAcosB＝，＝，求tanα的值．解：本题主要考查解三角形问题，意在考查考生对公式的运用能力．(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，由余弦定理有cosC＝＝＝－.故C＝.(2)由题意得＝.因此(tanαsinA－cosA)(tanαsinB－cosB)＝，tan2αsinAsinB－tanα(sinAcosB＋cosAsinB)＋cosAcosB＝，tan2αsinAsinB－tanαsin(A＋B)＋cosAcosB＝.①因为C＝，所以A＋B＝，所以sin(A＋B)＝，因为cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB，即－sinAsinB＝，解得sinAsinB＝－＝.由①得tan2α－5tanα＋4＝0，解得tanα＝1或tanα＝4.7．(2012山东，5分)若θ∈[，]，sin2θ＝，则sinθ＝()A.B.C.D.解析：因为θ∈[，]，所以2θ∈[，π]，所以cos2θ<0，所以cos2θ＝－＝－.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－，所以sin2θ＝，所以sinθ＝.答案：D8．(2012辽宁，5分)已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα＝()A．－1B．－C.D．1解析：由sinα－cosα＝sin(α－)＝，α∈(0，π)，解得α＝，所以tanα＝tan＝－1.答案：A9．(2012江苏，5分)设α为锐角，若cos(α＋)＝，则sin(2α＋)的值为________．解析：因为α为锐角，cos(α＋)＝，所以sin(α＋)＝，sin2(α＋)＝，cos2(α＋)＝，所以sin(2α＋)＝sin[2(α＋)－]＝×＝.答案：10．(2011辽宁，5分)设sin(＋θ)＝，则sin2θ＝()A．－B．－C.D.解析：sin2θ＝－cos(＋2θ)＝2sin2(＋θ)－1＝2×()2－1＝－.答案：A11．(2010新课标全国，5分)若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝()A．－B.C．2D．－2解析：∵cosα＝－且α是第三象限的角，∴sinα＝－，∴＝＝＝＝＝＝＝－.答案：A12．(2010福建，5分)计算sin43°cos13°－cos43°sin13°的结果等于()A.B.C.D.解析：sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin(43°－13°)＝sin30°＝.答案：A
