11.7.1离散型随机变量的均值与方差核心考点·精准研析考点一离散型随机变量的均值与方差的计算问题1.已知随机变量ξ的分布列为:ξ1-42Pxy若E(ξ)=,则D(ξ)=()A.B.C.D.2.(2020·太原模拟)已知排球发球考试规则:每位考生最多可发球三次,若发球成功,则停止发球,否则一直发到3次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0
1.75,则p的取值范围为()A.B.C.D.3.已知随机变量ξ的分布列为:ξ-102Pxyz若E(ξ)=,D(ξ)=1,则x,y,z的值分别为________.【解析】1.选C.因为x++y=1,所以x+y=,因为E(ξ)=x+(-4)×+2y=,所以x+2y=,所以x=,y=,所以D(ξ)=×+-4-2×+×=.2.选A.由题可知P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2p+(1-p)3=(1-p)2,则E(X)=P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(1-p)p+3(1-p)2>1.75,解得p>或p<,由p∈(0,1)可得p∈.3.由分布列的性质得x+y+z=1,由期望的定义得E=-x+2z=,由方差的定义得D=x+y+z=1,整理得16x+y+25z=9,解得x=,y=,z=.答案:,,(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.考点二二项分布、正态分布的均值与方差【典例】1.(2017·全国卷Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则D(X)=________.【解析】因为X～B(100,0.02),所以D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案:1.962.某城市市民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了100位市民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图,并且前四组频数成等差数列.(1)求a,b,c的值及居民月用水量在2～2.5内的频数.(2)根据此次调查,为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米,应将w定为多少?(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率,现从该市随机调查3名居民的月用水量,将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X,求其分布列及均值.【解题导思】序号联想解题(1)由直方图联想到所有的矩形面积之和为1(2)“使80%以上”联想到面积等于0.8的边界(3)“人数记为X”联想到二项分布【解析】(1)因为前四组频数成等差数列,所以所对应的也成等差数列,设a=0.2+d,b=0.2+2d,c=0.2+3d,所以0.5×(0.2+0.2+d+0.2+2d+0.2+3d+0.2+d+0.1+0.1+0.1)=1,解得d=0.1,所以a=0.3,b=0.4,c=0.5.居民月用水量在2～2.5内的频率为0.5×0.5=0.25,居民月用水量在2～2.5内的频数为0.25×100=25.(2)由题图及(1)可知,居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8,所以为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米.应规定w=2.5+×0.5≈2.83.(3)将频率视为概率,设A(单位:立方米)代表居民月用水量,可知P(A≤2.5)=0.7,由题意,X～B(3,0.7),P(X=0)=×0.33=0.027,P(X=1)=×0.32×0.7=0.189,P(X=2)=×0.3×0.72=0.441,P(X=3)=×0.73=0.343.所以X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343所以E(X)=np=2.1.与二项分布有关的期望、方差的求法(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析ξ是否服从二项分布,如果ξ～B(n,p),则用公式求解,可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用公式求出E(aξ+b).若同时抛掷两枚骰子,当至少有5点或6点出现时,就说这次试验成功,则在3次试验中至少有1次成功的概率是()A.B.C.D.【解析】选C.一次试验中,至少有5点或6点出现的概率为1-1-×1-=1-=,设X为3次试验中成功的次数,所以X～B3,,故所求概率P(X≥1)=1-P(X=0)=1-×0×3=.考点三离散型随机变量的均值、方差的实际问题命题精解读考什么:考查实际背景下求离散型随机变量的分布列、均值、方差怎么考:(1)直接求分布列、均值、方差(2)通过均值、方差,作出决策新趋势:与统计、函数、不等式等知识交汇考查考生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力学霸好方法1.实际背景下离散型随机变量的分布列、均值、方差的问题的步骤(1)阅读题目,读取信息,翻译成数学语言描述的数学问题(2)设出随机变量,求出各个变量取值对应的概率,写出分布列,根据均值...
