1.3.1圆幂定理课时过关·能力提升1.如图,CD是☉O的直径,AB⊥CD,垂足为点P,且AP=4,PD=2,则PO等于()A.2B.3C.5D.7解析:设☉O的半径为r,∵AP·PB=CP·PD,AP=PB=4,PD=2,∴42=(2r-2)×2,∴r=5.∴PO=r-2=3.答案:B2.如图,PT是外切两圆的公切线,T为切点,PAB,PCD分别为这两圆的割线,若PA=3,PB=6,PC=2,则PD等于()A.4B.8C.9D.12解析:PT2=PA·PB=PC·PD,则PD=PA·PBPC=3×62=9.答案:C3.如图,PA,PB分别为☉O的切线,切点分别为A,B,PA=7,在劣弧AB⏜上任取一点C,过点C作☉O的切线,分别交PA,PB于点D,E,则△PDE的周长是()A.7B.10C.14D.28解析:∵DA,DC为☉O的切线,∴DA=DC.1同理EB=EC.∴△PDE的周长=PD+PE+DE=(PD+DC)+(PE+CE)=(PD+DA)+(PE+EB)=PA+PB=7+7=14.答案:C4.已知☉O的弦AB过弦CD的三等分点M,AM和BM的长是关于x的方程3x2+2mx+18=0的两个根,则CD的长为()A.√3B.2√3C.3√3D.4√3解析:∵AM和BM的长是3x2+2mx+18=0的两根,∴AM·BM=183=6.又AB和CD相交于点M,∴CM·MD=AM·BM=6.∴13CD·23CD=6,∴CD=3√3.答案:C5.从圆外一点P向圆引两条割线PAB,PCD,分别与圆相交于A,B,C,D,如果PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=.解析:由割线定理,得PA·PB=PC·PD,故4×(4+AB)=3×(3+5),解得AB=2.答案:2★6.如图,已知圆O的半径为3,从圆O外一点A引切线AD和割线ABC,圆心O到AC的距离为2√2,AB=3,则切线AD的长为.解析:如图,取BC的中点E,连接OE和OB.则OE⊥BC,故OE=2√2,OB=3,则BC=2BE=2√OB2-OE2=2,所以AC=AB+BC=5.又AD是圆O的切线,2所以AD2=AB·AC=15.所以AD=√15.答案:√157.如图,PA与☉O相切于点A,D为PA的中点,过点D引割线交☉O于B,C两点.求证:∠DPB=∠DCP.分析转化为证明△BDP∽△PDC.证明因为PA与圆相切于点A,所以DA2=DB·DC.因为D为PA的中点,所以DP=DA.所以DP2=DB·DC,即PDDC=DBPD.又∠BDP=∠PDC,所以△BDP∽△PDC.所以∠DPB=∠DCP.★8.如图,直线AB经过☉O上的点C,并且OA=OB,CA=CB,☉O交直线OB于E,D两点,连接EC,CD.(1)求证:直线AB是☉O的切线;(2)若tan∠CED=12,☉O的半径为3,求OA的长.分析(1)转化为证明OC⊥AB即可;(2)先证明△BCD∽△BEC,再借助于对应边成比例,解方程得OA的长.(1)证明如图,连接OC,∵OA=OB,CA=CB,∴OC⊥AB.∴AB是☉O的切线.3(2)解:∵ED是直径,∴∠ECD=90°.∴在Rt△ECD中,tan∠CED=CDEC=12.∵BC是☉O的切线,∴BC2=BD·BE,∠BCD=∠E.又∠CBD=∠EBC,∴△BCD∽△BEC.∴BDBC=CDEC=12.设OA=x,则BD=OB-OD=x-3,BC=2BD=2(x-3),BE=BO+OE=x+3,∴[2(x-3)]2=(x-3)(x+3),解得x=5或x=3(舍去).∴OA=5.4
