高考数学总复习 5.3 平面向量的数量积演练提升同步测评 文 新人教B版-新人教B版高三全册数学试题VIP免费

5.3平面向量的数量积A组专项基础训练(时间：40分钟)1．(2016·安徽皖江名校联考)在△ABC中，已知向量AB＝(2，2)，|AC|＝2，AB·AC＝－4，则△ABC的面积为()A．4B．5C．2D．3【解析】 AB＝(2，2)，∴|AB|＝＝2. AB·AC＝|AB|·|AC|cosA＝2×2cosA＝－4，∴cosA＝－， 0＜A＜π，∴sinA＝，∴S△ABC＝|AB|·|AC|sinA＝2.【答案】C2．(2017·安徽江淮十校第一次联考)在等腰△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，BC＝2BD，AC＝3AE，则AD·BE的值为()A．－B．－C.D.【解析】由已知得AD·BE＝(AB＋AC)·＝－AB2＋AB·AC＋AC·BA＋AC2.①因为△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，所以①式＝－×22＋0＋0＋×22＝－.故选A.【答案】A3．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，若a与b的夹角为60°，则直线xcosα－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝的位置关系是()A．相交B．相交且过圆心C．相切D．相离【解析】 a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，∴|a|＝2，|b|＝3.∴a·b＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β)．而a·b＝|a||b|cos60°＝3，∴6cos(α－β)＝3⇒cos(α－β)＝.则圆心(cosβ，－sinβ)到直线xcosα－ysinα＋＝0的距离d＝＝＝1＞＝r，∴相离．【答案】D4．(2016·驻马店质检)若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形【解析】因为(OB－OC)·(OB＋OC－2OA)＝0，即CB·(AB＋AC)＝0， AB－AC＝CB，∴(AB－AC)·(AB＋AC)＝0，即|AB|＝|AC|，所以△ABC是等腰三角形，故选C.【答案】C5．(2015·辽阳一模)在△ABC中，如图，若|AB＋AC|＝|AB－AC|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则AE·AF等于()A.B.C.D.【解析】若|AB＋AC|＝|AB－AC|，则AB2＋AC2＋2AB·AC＝AB2＋AC2－2AB·AC，即有AB·AC＝0.E，F为BC边的三等分点，则AE·AF＝(AC＋CE)·(AB＋BF)＝·＝·＝AC2＋AB2＋AB·AC＝×(1＋4)＋0＝.故选B.【答案】B6．(2016·合肥联考)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则a＋b在a上的投影为________．【解析】 |a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝1＋4＋2×1×2×＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝.∴a＋b在a上的投影为|a＋b|·cos〈a＋b，a〉＝×＝2.【答案】27．(2015·潍坊模拟)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，AC〉＝60°，则|OA|＝________．【解析】因为〈AB，AC〉＝60°，所以AB·AC＝|AB|·|AC|cos60°＝1×3×＝，又AO＝(AB＋AC)，所以AO2＝(AB＋AC)2＝(AB2＋2AB·AC＋AC2)，所以AO2＝(1＋3＋9)＝，所以|OA|＝.【答案】8．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”、“内心”、“外心”)．【解析】 OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．【答案】垂心9．(2017·上海静安区一模)如图，已知O为坐标原点，向量OA＝(3cosx，3sinx)，OB＝(3cosx，sinx)，OC＝(，0)，x∈.(1)求证：(OA－OB)⊥OC；(2)若△ABC是等腰三角形，求x的值．【解析】(1)证明 OA－OB＝(0，2sinx)，∴(OA－OB)·OC＝0×＋2sinx×0＝0，∴(OA－OB)⊥OC.(2)若△ABC是等腰三角形，则AB＝BC，∴(2sinx)2＝(3cosx－)2＋sin2x，整理得2cos2x－cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝. x∈，∴cosx＝，x＝.10．(2015·德州一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(cos(A－B)，sin(A－B))，n＝(cosB，－sinB)，且m·n＝－.(1)求sinA的值；(2)若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量BA在BC方向上的投影．【解析】(1)由m·n＝－，得cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，所以cosA＝－.因为0＜A＜π，所以sinA＝＝＝.(2)由正弦定理，得＝，则sinB＝＝＝，因为a＞b，所以A＞B，则B＝.由余弦定理得(4)2＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1，故向量BA在BC方向上的投影为|BA|cosB＝ccosB＝1×＝.B组专项能力提升(时间：20分钟)11．(2015·湖南)已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2...