(三)数列1．(2019·宁波中学模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，对于任意n∈N*满足：an>0，且an是4Sn和3－a的等差中项．(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，都有＋＋…＋<.(1)解 an是4Sn和3－a的等差中项，∴2an＝4Sn＋3－a，对于上式，令n＝1，则2a1＝4a1＋3－a⇒a1＝3或a1＝－1，又an>0，∴a1＝3.(2)解易知，4Sn＝a＋2an－3，①4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，n∈N*，②上述两式作差并化简得2(an＋1＋an)＝a－a，即2(an＋1＋an)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)，又an>0，所以an＋1－an＝2，n∈N*，即数列{an}为等差数列，公差为2，由a1＝3，可知an＝a1＋2(n－1)＝2n＋1，即数列{an}的通项公式为an＝2n＋1，n∈N*.(3)证明＝＝<＝，即<，于是＋＋…＋<＝<，即对一切正整数n，都有＋＋…＋<.2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，令bn＝an＋1.(1)求证：{bn}是等比数列；(2)记数列{nbn}的前n项和为Tn，求Tn；(3)求证：－<＋＋＋…＋<.(1)证明a1＝2，a2＝2(2＋2)＝8，an＋1＝2(Sn＋n＋1)(n∈N*)，an＝2(Sn－1＋n)(n≥2)，1两式相减，得an＋1＝3an＋2(n≥2)．经检验，当n＝1时上式也成立，即an＋1＝3an＋2(n≥1)．所以an＋1＋1＝3(an＋1)，即bn＋1＝3bn，且b1＝3.故{bn}是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解由(1)得bn＝3n，nbn＝n·3n.Tn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，两式相减，得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，化简得Tn＝×3n＋.(3)证明由(1)得bn＝3n，所以an＝3n－1，所以＝>，所以＋＋＋…＋>＋＋…＋＝＝－×.又＝＝<＝，所以＋＋＋…＋<＋＝＋＝＋－×<，故－<＋＋＋…＋<.3．(2019·余高等三校联考)已知{an}是公比大于0的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝，＝＋4，a3＝，a4＝.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)若cn＝·，记Sn＝c1＋c2＋…＋cn，求证：≤Sn<(n∈N*)．(1)解设数列{an}的公比为q(q>0)，则即－－2＝0，解得q＝－1(舍)或q＝，∴an＝(n∈N*)．设数列{bn}的公差为d，则即解得∴bn＝n－1(n∈N*)．(2)证明 cn＝·＝2＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝－<；又 Sn＋1－Sn＝－－＋＝>0，∴数列{Sn}递增，则Sn≥S1＝c1＝，综上，≤Sn<(n∈N*)．4．(2019·衢二中模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，an＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求证：－≤Sn<.(1)解 ＝＋1，∴＋1＝2，又＝1，∴＋1＝2n，∴an＝(n∈N*)．(2)证明当n＝1时，S1＝a1＝1，－＝1，即－＝S1；当n≥2时，an>，即Sn>1＋＋＋…＋＝1＋＝－.∴Sn≥－(n∈N*)， an>0，∴{Sn}递增，a1＝1，a2＝，当n≥3时，an<＝，即Sn<1＋＋＋＋…＋＝＋＝＋－＝－<，∴S10，an≥－·，n＝1,2，…；(3)证明：a1＋a2＋…＋an>.(1)解 an＋1＝，∴－1＝，又－1＝，∴－1＝·＝，∴an＝(n∈N*)．(2)证明由(1)知an＝>0，＝＋1，－＝－＝－＝－·＋＝－2＋an≤an，∴原不等式成立．3(3)证明由(2)知，对任意的x>0，有a1＋a2＋…an≥－＋－＋…＋－＝－，∴取x＝＝，则a1＋a2＋…＋an≥＝>，∴原不等式成立．6．(2019·浙大附中模拟)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝can＋cn＋1(2n＋1)(n∈N*)，其中实数c≠0.(1)求{an}的通项公式；(2)若对一切k∈N*有a2k>a2k－1，求c的取值范围．解(1)方法一由a1＝1，a2＝ca1＋c2·3＝3c2＋c＝(22－1)c2＋c，a3＝ca2＋c3·5＝8c3＋c2＝(32－1)c3＋c2，a4＝ca3＋c4·7＝15c4＋c3＝(42－1)c4＋c3，猜想an＝(n2－1)cn＋cn－1，n∈N*.下面用数学归纳法证明．当n＝1时，等式成立；假设当n＝k时，等式成立，即ak＝(k2－1)ck＋ck－1，则当n＝k＋1时，ak＋1＝cak＋ck＋1(2k＋1)＝c[(k2－1)ck＋ck－1]＋ck＋1(2k＋1)＝(k2＋2k)ck＋1＋ck＝[(k＋1)2－1]ck＋1＋ck，综上，an＝(n2－1)cn＋cn－1对任何n∈N*都成立．方法二由原式得＝＋(2n＋1)．令bn＝，则b1＝，bn＋1＝bn＋(2n＋1)，因此对n≥2有bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n－1)＋(2n－3)...
