A1xD1B1ADBCC1yzEF空间向量在立体几何中的应用练习班级______________姓名______________1.已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz（1）A1D与EF所成角是（2）,（3）,，二面角的正弦值为2．如图，在长方体，中，，点在棱上移动.（1）证明：；（2）（选做）当为的中点时，求点到面的距离；（3）等于何值时，二面角的大小为.CADBOE解：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，，设平面的法向量为，则也即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，∴由令，∴依题意∴（不合，舍去），.∴时，二面角的大小为.3.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的大小；（III）（选做）求点E到平面ACD的距离。解：（I）略（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则EFDCBA异面直线AB与CD所成角的大小为（III）解：设平面ACD的法向量为则令得是平面ACD的一个法向量，又点E到平面ACD的距离4.如图，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（Ⅱ）求二面角B-AC-E的大小；（Ⅲ）（选做）求点D到平面ACE的距离。解（Ⅰ）略（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.面BCE，BE面BCE，，在的中点，设平面AEC的一个法向量为，则解得令得是平面AEC的一个法向量.又平面BAC的一个法向量为，∴二面角B—AC—E的大小为（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，∴点D到平面ACE的距离xCABODyzE
