高考数学抽象函数解题方法与技巧VIP专享VIP免费

抽象函数解题方法与技巧所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1.已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1(0≤u≤2),则f(u)=-u2+3u+1(0≤u≤2)故f(x)=-x2+3x+1(0≤u≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。例2.解:例3.解:3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.用心爱心专心116号编辑4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______.解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,例6.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论;(3)若f(2)=2,un=f(2n)(n∈N*),求证:un+1>un(n∈N*).解:(1)令a=b=0,得f(0)=0,令a=b=1,得f(1)=0.(2)f(x)是奇函数.因为:令a=b=-1,得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0,故f(-x)=f[(-1)(x)]=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:un=f(2n)>0(n∈N*)(略)5.转化法通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为问题的解决带来极大的方便.例7.设函数f(x)对任意实数x,y，都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0时f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3，3]上的最大值和最小值.解:令x=y=0,得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)为奇函数.设x10,由已知得f(x2-x1)<0,故f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同时成立?若存在,求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由.解:假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2.又f(2)=4=22,f(3)=23,…,由此猜想:f(x)=2x(x∈N*)(数学归纳证明略）例10.已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1,且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=_________.解:由g(x)=f(x)+1-x,得f(x)=g(x)+x-1.所以g(x+5)+(x+5)-1≥g(x)+(x-1)+5,g(x+1)+(x+1)-1≤g(x)+(x-1)+1即g(x+5)≥g(x),g(x+1)≤g(x).所以g(x)≤g(x+5)≤g(x+4)≤g(x+3)≤g(x+2)≤g(x+1),故g(x)=g(x+1)又g(1)=1,故g(2002)=1.7.模型法模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。应掌握下面常见的特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k≠0)f(x+y)=f(x)+f(y)幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或]指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)f(x+y)=f(x)f(y)[对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)f(xy)=f(x)+f(y)[正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosxf(x+T)=f(x)正切...