课时达标训练(六)立体几何中的计算A组——抓牢中档小题1.若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．解析：由题意，得圆锥的母线长l＝＝，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×＝π.答案：π2．已知正六棱柱的侧面积为72cm2，高为6cm，那么它的体积为________cm3.解析：设正六棱柱的底面边长为xcm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝×22×6×6＝36(cm3)．答案：363．(2019·扬州中学模拟)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积为________．解析：如图，连接OA，OB.由SA＝AC，SB＝BC，SC为球O的直径，知OA⊥SC，OB⊥SC.由平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，OA⊥SC，知OA⊥平面SCB.设球O的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，∴三棱锥SABC的体积V＝×·OA＝，即＝9，∴r＝3，∴S球表＝4πr2＝36π.答案：36π4．(2019·南京四校联考)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，点E是棱BB1上一点(异于端点)，则三棱锥A1AEC的体积为________．解析：由题意知，在正三角形ABC中，AB＝2，所以S△ABC＝×22＝.连接BA1，由等体积法知，VA1AEC＝VEAA1C＝VBA1AC＝VA1ABC＝×AA1×S△ABC＝.答案：5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________．解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由··l2＝3π，得l＝3，又由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝＝2，所以V＝·πr2·h＝π.答案：π6.一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3.解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，侧面高为5cm，则正四棱锥的高为＝4(cm)，所以所求容积V＝×62×4＝48(cm3)．答案：4817．(2019·苏锡常镇四市一模)已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________．解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由圆柱的轴截面的对角线长为2知，4r2＋h2＝4.圆柱的侧面积S＝2πrh≤π×＝2π，当且仅当2r＝h时取等号，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π.答案：2π8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．解析：由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝，即＝，得a＝r，从而＝＝＝.答案：9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体PAEF＝V四面体A-PEF＝·S△PEF·AP＝××1×1×2＝.答案：10．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．解析：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝πrh1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝πr2h＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝＝，得h1＝h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.答案：311.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．因为A1C1＝6，A1B＝2，BC1＝2，所以A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝90°.又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6××＝50，所以A1C＝5，即CP＋PA1的最小值是5.答案：512．(2019·南京三模)有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b，1.现将它的长增加1，宽增加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________．解析：设所得新长方体的高为h，根据题意，得所以h＝＝＝≤＝，当且仅当2a...
