2.2复数的乘法与除法课时过关·能力提升1.已知a,b∈R,i是虚数单位.若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i解析:由题意,知a-i=2-bi,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.答案:D2.已知(x+i)(1-i)=y,则实数x,y分别为()A.x=-1,y=1B.x=-1,y=2C.x=1,y=1D.x=1,y=2解析:由x,y为实数,且(x+i)(1-i)=y,得x+1+(1-x)i=y,所以{y=x+1,1-x=0.∴x=1,y=2.答案:D3.已知i是虚数单位,复数z满足z·i3+2i=1−i,则∨z+3∨¿()A.√29B.3√3C.√26D.5解析:∵z·i3+2i=1−i,∴z·i=(1-i)·(3+2i)=5-i,∴z=-1-5i,∴z+3=2-5i,∴|z+3|¿√22+(-5)2=√29,故选A.1答案:A4.复数z¿-1+i1+i−1在复平面内对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:把z化为a+bi(a,b∈R)的形式再判断.z¿-1+i1+i−1=(-1+i)(1-i)(1+i)(1-i)−1¿-1+i+i-i22−1=i−1=−1+i,则复数z对应的点为(-1,1),此点在第二象限,故选B.答案:B5.若z的共轭复数为z,且z+z=4,zz=8,则zz等于()A.1B.-iC.±1D.±i解析:设z=a+bi(a,b∈R),则z=a−bi,∴z+z=2a=4.∴a=2.又∵zz=a2+b2=8,∴b2=4.∴b=±2.∴zz=(z)2zz=(2±2i)28=±8i8=±i.答案:D6.(1+i)20-(1-i)20的值是()2A.-1024B.1024C.0D.512解析:(1+i)20-(1-i)20=[(1+i)2]10-[(1-i)2]10=(2i)10-(-2i)10=(2i)10-(2i)10=0.答案:C7.若复数z¿2i1-i,则∨z+3i∨¿¿.解析:∵z¿2i1-i=2i(1+i)2=−1+i,∴z=−1−i.∴¿z+3i∨¿∨−1+2i∨¿√5.答案:√58.已知z1是复数,z2=z1-iz1(其中z1表示z1的共轭复数),若z2的实部是−1,则z2的虚部为¿.解析:设z1=x+yi,z2=-1+bi,其中x,y,b均为实数,则-1+bi=x+yi-i(x-yi)=(x-y)+(y-x)i,由复数相等,得{-1=x-y,b=y-x.所以b=1.答案:19.★已知z¿|3+4i4-3i|+2i,则∨z∨z+z∨z∨¿¿解析:∵z¿|3+4i4-3i|+2i=1+2i,∴|z|¿√12+22=√5,z=1−2i,3∴¿z∨¿√12+(-2)2=√5,∴∨z∨z+z∨z∨¿2√5.答案:2√510.已知x,y∈R,且x1+i+y1+2i=51+3i,求x,y的值.分析:复数通分太麻烦,可将每个分母的复数化为实数,再进行计算.解:x1+i+y1+2i=51+3i可写成x(1-i)2+y(1-2i)5=5(1-3i)10,则5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i,∴{5x+2y=5,5x+4y=15.∴{x=-1,y=5.11.已知z是复数,z+2i,z2-i均为实数,且复数(z+ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x,y∈R),则z+2i=x+(y+2)i,由题意,得y=-2,z2-i=x-2i2-i=15(x−2i)(2+i)¿15(2x+2)+15(x−4)i,由题意,得x=4,∴z=4-2i.4∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,根据条件可知{12+4a-a2>0,8(a-2)>0,解得2
