3.2.2利用向量解决平行、垂直问题A级：基础巩固练一、选择题1．已知平面α∥平面β，n＝(1，－1,1)为平面α的一个法向量，则下列向量是平面β的法向量的是()A．(1,1,1)B．(－1,1，－1)C．(－1，－1，－1)D．(1,1，－1)答案B解析 (－1,1，－1)＝－n，∴(－1,1，－1)是平面β的一个法向量．2．直线l的方向向量为s＝(－1,1,1)，平面α的法向量为n＝(2，x2＋x，－x)，若直线l∥平面α，则x的值为()A．－2B．－C.D．±答案D解析 l∥平面α，∴s⊥n，即s·n＝0.∴(－1,1,1)·(2，x2＋x，－x)＝0，即－2＋x2＋x－x＝0，∴x＝±.3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定答案B解析建系如图，设正方体的棱长为2，则点A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)．∴M(2,1,1)，N(1,1,2)．∴MN＝(－1,0,1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， －1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面BB1C1C.故选B.14．如图所示，在空间直角坐标系中BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则向量OD的坐标为()A.B.C.D.答案B解析如图所示，过D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BCD中，由∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2，得BD＝1，CD＝.∴DE＝CD·sin30°＝，OE＝OB－BD·cos60°＝1－＝.∴D点坐标为，即向量OD的坐标为.故选B.5．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析 A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D2是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是()A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BDB．当点Q为线段B1P的三等分点(靠近点P)时，DQ⊥平面A1BDC．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在DQ与平面A1BD垂直答案D解析以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0，2,0)，A1B＝(1,0,1)，A1D＝，B1P＝(－1，2,0)，DB1＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且B1Q＝λB1P＝λ(－1，2,0)＝(－λ，2λ，0)，则DQ＝DB1＋B1Q＝，因为DQ也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与DQ＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直，故选D.二、填空题7．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝，若a∥b，则k＝________.答案－2解析①当k＝0时，a与b不平行．②当k≠0时，由＝＝，解得k＝－2.8．已知△ABC是∠B为直角顶点的等腰直角三角形，其中BA＝(1，m,2)，BC＝(2，m，n)(m，n∈R)，则m＋n＝________.答案－1解析由题意得BA·BC＝0，且|BA|＝|BC|，∴∴∴m＋n＝－1.9．如右图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥平面B1DE，则AE＝________.答案a或2a解析以B为坐标原点，建立如右图所示的空间直角坐标系Bxyz.3 AC＝2a，∠ABC＝90°，∴AB＝BC＝a.∴C(0，a，0)，B1(0,0,3a)，D，设E的坐标为(a，0，b)，CE＝(a，－a，b)，B1E＝(a,0，b－3a)，B1D＝. CE·B1D＝a2－a2＋0＝0，∴CE⊥B1D恒成立．由B1E·CE＝2a2＋b(b－3a)＝b2－3ab＋2a2＝0得b＝a或b＝2a.∴当|AE|＝a或|AE|＝2a时，CE⊥平面B1DE.三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：(1)PA∥平面EDB；(2)PB⊥平面EFD.证明(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空...
