3.5平面的法向量[A基础达标]1．若两个不重合的平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与平面β的关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法判断解析：选A.因为a＝－b，所以a∥b.所以α∥β.2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.PA·AB＝0B.PC·BD＝0C.PC·AB＝0D.PA·CD＝0解析：选C.因为PA⊥平面ABCD，所以BD⊥PA.又AC⊥BD，所以PC⊥BD.故选项B正确，选项A和D显然成立．故选C.3．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－B．6C．－6D.解析：选B.因为α∥β，所以α的法向量与β的法向量也互相平行．所以＝＝.所以λ＝6.4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是()A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析：选D.因为a·n＝(1，－1，3)·(0，3，1)＝1×0＋(－1)×3＋3×1＝0，所以a⊥n，所以l∥α.5．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(，，－)B．(，－，)C．(－，，)D．(－，－，－)解析：选D.设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z).AB＝(－1，1，0)，AC＝(－1，0，1)．由n·AB＝0，n·AC＝0，得得x＝y＝z，令z＝1，得x＝y＝1，所以n＝(1，1，1)，|n|＝，得平面ABC的单位法向量为±(，，)．故选D.6．已知AB＝(2，2，1)，AC＝(4，5，3)，则平面ABC的单位法向量是________．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒⇒，令z＝2，则n＝(1，－2，2)，|n|＝＝3，n＝±(，－，)．答案：±(，－，)7．下列命题中：①若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v⇔α∥β；②若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0；③若u是平面α的法向量且向量a与α共面，则u·a＝0；1④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．其中正确的命题序号是________．解析：①中，α，β有可能重合；②正确；③中，因为u⊥α，a∥α，所以u⊥a.所以u·a＝0，③正确；④正确．答案：②③④8.如图所示，已知正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为________．解析：因为M在EF上，不妨设ME的长度为x，所以M，A(，，0)，D(，0，0)，E(0，0，1)，B(0，，0)，所以ED＝(，0，－1)，BE＝(0，－，1)，AM＝.设平面DEB的法向量为n＝(a，b，c)，易求得其中一个法向量为n＝(1，1，)，所以有n·AM＝0，即x－＋x－＋＝0，所以x＝，所以x＝1，所以M.答案：9．设u、v分别是平面α、β的法向量，根据下列条件，判断α、β的位置关系．(1)u＝(－2，2，5)，v＝(6，－4，4)；(2)u＝(1，2，－2)，v＝(－2，－4，4)．解：(1)易知u·v＝－2×6＋2×(－4)＋5×4＝－12－8＋20＝0，所以u⊥v，所以α⊥β.(2)由题意知v＝－2u，即u∥v，所以α∥β(或α与β重合)．10．在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，侧棱长为且侧棱垂直于底面，E、F分别是AB1、CB1的中点，求证：平面D1EF⊥平面AB1C.证明：把四棱柱如图放置在空间直角坐标系中，则各点坐标为A(，0，0)，C(0，，0)，B1(，，)，D1(0，0，)，E(，，)，F(，，)．设平面AB1C的法向量为n1＝(1，λ1，μ1)，则n1应垂直于AC和AB1.而AC＝(－，，0)，AB1＝(0，，)，所以n1·AC＝－＋λ1＝0及n1·AB1＝λ1＋μ1＝0.所以n1＝(1，1，－)．再假设平面D1EF的法向量为n2＝(1，λ2，μ2)，则n2应垂直于D1E、D1F，而D1E＝，D1F＝，所以n2·D1E＝＋λ2－μ2＝0，n2·D1F＝＋λ2－μ2＝0.所以λ2＝1，μ2＝.所以n2＝(1，1，)．由于n1·n2＝1＋1－·＝1＋1－2＝0，所以n⊥n2.因此平面D1EF⊥平面AB1C.[B能力提升]11．已知平面α上的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则平面α的一个法向量为()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)2解析：选C.显然a与b不平行，设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以n＝(－2，1，1)．12．在正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在这样的点P...
