2.1.2数列的递推公式（选学）课后训练1．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为()．A．13B．14C．15D．162．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2na－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于()．A．－1B．1C．0D．23．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，111nnaa(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值可以是()．A．14B．15C．16D．174．若数列{an}满足：an＋1＝1－1na，且a1＝2，则a2012等于()．A．1B．2C．2D．125．若{an}的前8项的值互异，且an＋8＝an，对于n∈N＋都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为()．A．{a2k＋1}B．{a3k＋1}C．{a4k＋1}D．{a6k＋1}6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1.在数列{bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝abn－1，则b4＝________，b5＝________.7．已知a1＝1，122nnnaaa(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________，归纳出an＝________.8．若数列{an}满足211nnnnaakaa(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2012＝________.9．已知a，b为两个正数，且a＞b，设12aba，1bab，当n≥2，n∈N＋时，112nnnaba，11nnnbab.(1)求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；(2)求证：an＋1－bn＋1＜12(an－bn)．1参考答案1.答案：C由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.2.答案：A由已知an＋1＝2na－1＝(an＋1)(an－1)，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.3.答案：C∵a1＝b，111nnaa，∴211ab，31bab，a4＝b.∴{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，∴a7＝a10＝a13＝a16＝b.故选C.4.答案：D由an＋1＝1－1na，a1＝2，得211122a，a3＝1－2＝－1，a4＝2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2012＝a3×670＋2＝a2＝12，故选D.5.答案：B∵k∈N＋，当k＝1,2,3…时，a2k＋1、a4k＋1、a6k＋1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k＋1}、{a4k＋1}、{a6k＋1}不符合．而当k取以上值时，{a3k＋1}可以取遍前8项．实际上，由an＋8＝an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的项就重复出现．具体情况如下：在{a3k＋1}中，当k＝1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a25，a10＝a2＋8＝a2，a13＝a5＋8＝a5，a16＝a8＋8＝a8，a19＝a3＋2×8＝a3，a22＝a6＋2×8＝a6，a25＝a1＋3×8＝a1，这样，这个数列的项包括了数列{an}中的前8项不同的取值．6.答案：3163题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以逐个推导．∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，∴b1＝a1＝3，b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63.7.答案：1，23，12，25，1321n已知题中已给出{an}的第1项即a1＝1，根据递推公式：122nnnaaa，将n＝2,3,4,5依次代入可得这个数列的前5项，∴223a，31224a，425a，51236a.∴21nan.8.答案：210069.答案：证明：(1)易知对任意n∈N＋，an＞0，bn＞0.由a≠b，可知2abab，即a1＞b1.同理，11112abab，即a2＞b2.可知对任意n∈N＋，an＞bn.所以an＋1－an＝2nnab－an＝2nnba＜0，所以数列{an}是递减数列．2又bn＋1－bn＝()0nnnnnnabbbab，所以数列{bn}是递增数列．(2)an＋1－bn＋1＝1()222nnnnnnnnnnabababbbab．∴an＋1－bn＋1＜12(an－bn)．3
