高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.1 空间中向量的概念和运算应用案巩固提升 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

3.1空间中向量的概念和运算[A基础达标]1．若向量a、b是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0且b·c＝0”是“l⊥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当a∥b时，由c·a＝0且c·b＝0得不出l⊥α；反之，l⊥α一定有c·a＝0且c·b＝0.故选B.2．如图，在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于()A.B.C．－D．－解析：选A.因为CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，所以λ＝.3.如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的中点，则AB＋(BD＋BC)等于()A.AGB.CGC.BCD.BC解析：选A.AB＋(BD＋BC)＝AB＋BG＝AG.4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A.AB＋A1D1＋C1A1B.AB－AC＋BB1C.AB＋AD＋AA1D.AC＋CB1解析：选A.在A选项中，AB＋A1D1＋C1A1＝(AB＋AD)＋CA＝AC＋CA＝0.5．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是()A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC.a－b＋cD．－a－b＋c解析：选A.注意到AM＝AC＝A1C1＝(A1B1＋A1D1)＝(a＋b)，B1M＝B1A1＋A1A＋AM＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.6．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则直线AB1和BM的位置关系是________．1解析：因为AB1＝AA1＋AB，BM＝BC＋CC1＝BC＋AA1，设三棱柱的各棱长均为a，则AB1·BM＝(AA1＋AB)·(BC＋AA1)＝AA1·BC＋AA12＋AB·BC＋AB·AA1＝0＋a2＋a2cos120°＋0＝0.所以AB1⊥BM.答案：垂直7．如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________．解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：148．命题：①向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A、B、C三点不共线，O是平面ABC外一点，OM＝OA＋OB＋OC，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC内部．上述命题中的真命题是________．解析：①中a所在的直线其实不确定，故①是假命题；②中当a＝0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；③中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故③是真命题．答案：③9．已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)OA·OB；(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)；(3)|OA＋OB＋OC|.解：(1)OA·OB＝|OA|·|OB|·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.(2)(OA＋OB)·(CA＋CB)＝(OA＋OB)·(OA－OC＋OB－OC)＝(OA＋OB)·(OA＋OB－2OC)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3)|OA＋OB＋OC|＝＝＝.10．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，E、F、G分别是BC、CD、DB的中点，请化简2(1)AB＋BC＋CD；(2)AB＋GD＋EC.并在图中标出化简结果的向量．解：(1)AB＋BC＋CD＝AC＋CD＝AD.(2)因为E、F、G分别为BC、CD、DB的中点，所以BE＝EC，EF＝GD.所以AB＋GD＋EC＝AB＋BE＋EF＝AF.故所求向量AD，AF，如图所示．[B能力提升]11.正四面体ABCD的棱长为a，点E、F、G分别为棱AB、AD、DC的中点，则四个数量积：①2BA·AC；②2AD·BD；③2FG·AC；④2EF·CB中结果为a2的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选B.①2BA·AC＝2·a·acos120°＝－a2.②2AD·BD＝2·a·a·cos60°＝a2.③2FG·AC＝2··a·cos0°＝a2.④2EF·CB＝2··a·cos120°＝－.12．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值为________．解析：因为A，B，C三点共线，所以存在唯一实数k使AB＝kAC，即OB－OA＝k(OC－OA)，所以(k－1)OA＋OB－kOC＝0.又λOA＋mOB＋nOC＝0，令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，则λ＋m＋n＝0.答案：013．已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，化简下列向量表达式．(1)AB＋BC；(2)AB＋AD＋AA′；(3)AB＋AD＋CC′；(4)(AB＋AD＋DD′)．解：如图所示，(1)AB＋BC＝AC.(2)AB＋AD＋AA′＝AC＋CC′＝AC′.3(3)设M是线段CC′的中点，则AB＋AD＋CC′＝AC＋CM＝AM.(4)设G是线段AC′的三等分点，则(AB＋AD＋DD′)＝(AC＋CC′)＝AC′＝AG.14.(选做题)在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明：设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0.而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)＝c＋(a＋b)，BD＝AD－AB＝b－a，OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1＝(a＋b)－c.所以A1O·BD＝(c＋a＋b)·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝(|b|2－|a|2)＝0.所以A1O⊥BD，所以A1O⊥BD.同理可证：A1O⊥OG，所以A1O⊥OG.又因为OG∩BD＝O，且A1O⊄平面BDG，所以A1O⊥平面GBD.45