课时作业11一、选择题1．已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1或＋＝1D.＋＝1或＋＝1解析：由已知2c＝|F1F2|＝2，∴c＝.又2a＝|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝4，∴a＝2.∴b2＝a2－c2＝9.故椭圆C的标准方程是＋＝1或＋＝1.答案：C2．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A.－98解析：依题意，有，解得8n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：将方程mx2＋ny2＝1转化为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上，则有>0，>0，且>，即m>n>0.反之，m>n>0时，方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆．故选C.答案：C4．[2014·安徽省合肥六中月考]设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于()A.5B.4C.3D.1解析：本题考查椭圆定义的综合应用．由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.答案：B二、填空题5．[2013·北京东城区检测]已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.1解析：本题主要考查椭圆的定义．由题意，知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a.又由a＝5，可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.答案：86．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2的大小为________．解析：∵a2＝9，b2＝2，∴c＝＝＝，∴|F1F2|＝2.又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝2.由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°.答案：2120°7．设P为椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1||PF2|的最大值是__________．解析：由已知a＝3，|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|·|PF2|≤()2＝9.当且仅当|PF1|＝|PF2|＝3时，式中等号成立．故|PF1|·|PF2|的最大值为9.答案：9三、解答题8．已知椭圆＋＝1上一点M的纵坐标为2.(1)求M的横坐标；(2)求过M且与＋＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M的纵坐标代入＋＝1得＋＝1，即x2＝9.∴x＝±3，即M的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆＋＝1，焦点在x轴上且c2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为＋＝1.把M点的坐标代入得＋＝1，解得a2＝15.故所求椭圆的方程为＋＝1.9．在直线l：x－y＋9＝0上取一点P，过点P以椭圆＋＝1的焦点为焦点作椭圆．(1)P点在何处时，所求椭圆长轴最短；(2)求长轴最短时的椭圆方程．解：(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为F1(－3,0)、F2(3,0)．设点F1(－3,0)关于直线l的对称点F′1的坐标为(x0，y0)，当P在F2F′1与直线l的交点处时，椭圆长轴最短．则解之得∴F′1(－9,6)．则过F′1和F2的直线方程为2＝，整理得x＋2y－3＝0联立解之得即P点坐标为(－5,4)(2)由(1)知2a＝|F′1F|＝，∴a2＝45.∵c＝3，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求椭圆的方程为＋＝1.34
