（广东专版）高考数学二轮复习 第二部分 专题三 数列 专题强化练九 数列的求和及综合应用 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

专题强化练九数列的求和及综合应用一、选择题1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，S3＝a5.令bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前2n项和T2n为()A．－nB．－2nC．nD．2n解析：设等差数列{an}的公差为d，由S3＝a5得3a2＝a5，即3(1＋d)＝1＋4d，解得d＝2，所以an＝2n－1，所以bn＝(－1)n－1(2n－1)，所以T2n＝1－3＋5－7＋…＋(4n－3)－(4n－1)＝－2n.答案：B2．已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1013恒成立，则整数m的最小值为()A．1026B．1025C．1024D．1023解析：因为＝1＋，所以Tn＝n＋＝n＋1－，所以T10＋1013＝11－＋1013＝1024－，又m＞T10＋1013恒成立，所以整数m的最小值为1024.答案：C3．(2018·湖南三湘名校联考)已知等差数列{an}的各项都为整数，且a1＝－5，a3a4＝－1，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝()A．70B．58C．51D．40解析：设等差数列{an}的公差为d，依题意得d∈Z.因为a1＝－5，a3a4＝－1，所以(2d－5)(3d－5)＝－1，解得d＝2或d＝(舍)，所以an＝2n－7，令an＝2n－7≥0，解得n≥.所以n≤3时，|an|＝－an；n≥4时，|an|＝an.所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝5＋3＋1＋1＋3＋…＋13＝9＋＝58.答案：B4．(2018·衡水中学月考)数列an＝，其前n项之和为，则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y＋n＝0在y轴上的截距为()A．－10B．－9C．10D．9解析：由于an＝＝－.所以Sn＝＋＋…＋＝1－.因此1－＝，所以n＝9.所以直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0，得y＝－9，所以在y轴上的截距为－9.答案：B5．(2018·河南商丘第二次模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，且Sn为{an}的前n项和，则()A．an≥2n＋1B．Sn≥n2C．an≥2n－1D．Sn≥2n－1解析：因为a2－a1≥2，a3－a2≥2，…，an－an－1≥2，且a1＝1.各式相加，得an－a1≥2(n－1)，则an≥2n－1(n≥2)．则Sn＝a1＋a1＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.答案：B二、填空题6．(2018·江西名校联考)若{an}，{bn}满足anbn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前2018项和为________．解析：因为anbn＝1，且an＝n2＋3n＋2，所以bn＝＝－，故b1＋b2＋…＋b2018＝＋＋…＋＝－＝.答案：7．(2018·衡水中学质检)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[－1.5]＝－2.在数列{an}中，an＝[lgn]，n∈N*，记Sn为数列{an}的前n项和，则S2018＝________．解析：当1≤n≤9时，an＝[lgn]＝0，当10≤n≤99时，an＝[lgn]＝1，当100≤n≤999时，an＝[lgn]＝2，当1000≤n≤2018时，an＝[lgn]＝3.故S2018＝9×0＋90×1＋900×2＋1019×3＝4947.答案：49478．(2018·河北邯郸第一次模拟)已知数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，bn－an＝2n＋1，且Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2，则2Tn＝________．解析：因为Tn－Sn＝b1－a1＋b2－a2＋…＋bn－an＝2＋22＋…＋2n＋n＝2n＋1＋n－2.又Sn＋Tn＝2n＋1＋n2－2.相加，得2Tn＝2n＋2＋n2＋n－4＝2n＋2＋n(n＋1)－4.答案：2n＋2＋n(n＋1)－4三、解答题9．记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn＝2n2＋n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)由Sn＝2n2＋n，得当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1.又a1＝3满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．(2)bn＝＝＝所以Tn＝[＋(－)＋…＋(－)]＝(－)＝.10．已知数列{－n}是等比数列，且a1＝9，a2＝36.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{an－n2}的前n项和Sn.解：(1)设等比数列{－n}的公比为q，则q＝＝＝2.从而－n＝(3－1)×2n－1，故an＝(n＋2n)2.(2)因为an＝(n＋2n)2，所以an－n2＝n·2n＋1＋4n.记Tn＝22＋2·23＋…＋n·2n＋1，则2Tn＝23＋2·24＋…＋(n－1)·2n＋1＋n·2n＋2，两式相减得－Tn＝22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝2n＋2－4－n·2n＋2＝(1－n)·2n＋2－4，所以Tn＝(n－1)·2n＋2＋4，故Sn＝Tn＋＝(n－1)·2n＋2＋.11．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数f(x)＝3x2－2x的图象上．(1)求数列{an}的通项公式．(2)设bn＝，Tn是数列{bn}的前n项和，求使得2Tn≤λ－2018对任意n∈N*都成立的实数λ的取值范围．解：(1)因为点(n，Sn)均在函数f(x)＝3x2－2x的图象上，所以Sn＝3n2－2n.当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.又a1＝1也满足an＝6n－5，所以an＝6n－5(n∈N*)．(2)因为bn＝＝＝，所以Tn＝[＋＋…＋(－)]＝(1－)＝，所以2Tn＝＝1－＜1.又2Tn≤λ－2018对任意n∈N*都成立，所以1≤λ－2018，即λ≥2019.故实数λ的取值范围是[2019，＋∞)．