2.3.1抛物线的定义与标准方程[A基础达标]1．准线方程为x＝1的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝4x解析：选B.由准线方程为x＝1知，抛物线的标准方程是y2＝－4x.应选B.2．抛物线y＝mx2的准线方程是y＝1，则实数m的值为()A.B．－C．4D．－4解析：选B.由y＝mx2，得x2＝y，－＝1，m＝－.3．已知P(8，a)在抛物线y2＝4px上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为()A．2B．4C．8D．16解析：选B.准线方程为x＝－p，所以8＋p＝10，p＝2.所以焦点到准线的距离为2p＝4.4．已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝()A．1B．2C．4D．8解析：选A.由题意知抛物线的准线方程为x＝－.因为|AF|＝x0，所以根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1.5．已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是()A.B.C．2D.－1解析：选D.由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d＋|PF|的最小值为＝，所以d＋|PF|－1的最小值为－1.6．抛物线y2＝2px(p>0)过点M(2，2)，则点M到抛物线准线的距离为________．解析：y2＝2px过点M(2，2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.答案：7．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4，则焦点F到直线AB的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4且AB⊥x轴得y＝(2)2＝12，所以xA＝＝3，所以所求距离为3－1＝2.答案：218．若双曲线－＝1的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为________．解析：把双曲线－＝1化为标准形式－＝1，故c2＝3＋，c＝＝，左焦点，由题意知，抛物线的准线方程为x＝－，又抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，所以－＝－，解得，p＝4或p＝－4(舍去)．故p＝4.答案：49．指出方程为x＝ay2(a≠0)抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程．解：因为原抛物线方程为y2＝x，所以2p＝.当a＞0时，＝，抛物线顶点坐标为(0，0)，开口向右，焦点坐标为，准线方程为x＝－；当a＜0时，＝－，抛物线顶点坐标为(0，0)，开口向左，焦点坐标为，准线方程为x＝－.综上，当a≠0时，抛物线x＝ay2的顶点坐标为(0，0)，焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.10.如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意得A(4，4)，B(0，4)，M(0，2)．又F(1，0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．因为MN⊥FA，所以kMN＝－，则MN的方程为y＝－x＋2.解方程组得所以N.[B能力提升]11．若动点P与定点F(1，1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：选D.法一：设动点P的坐标为(x，y)．则＝.整理，得x2＋9y2＋4x－12y－6xy＋4＝0，即(x－3y＋2)2＝0，所以x－3y＋2＝0.所以动点P的轨迹为直线．法二：显然定点F(1，1)在直线l：3x＋y－4＝0上，则与定点F和直线l距离相等的动点P的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．12．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：如图，在正三角形ABF中，DF＝p，BD＝p，所以B点坐标为.又点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：613．根据下列所给条件，分别写出抛物线的标准方程及准线方程：(1)焦点是F(0，－2)；(2)焦点是F(3，0)；2(3)准线方程为x＝－；(4)焦点到准线的距离是2.解：(1)因为焦点F(0，－2)在y轴的负半轴上，所以抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)．由＝2，得p＝4，所以抛物线的标准方程为x2＝－8y，其准线方程为y＝2.(2)因为焦点F(3，0)在x轴的正半轴上，所以抛物线的标准方程的形式为y2＝2px(p>0)．由＝3，得p＝6，所以抛物线的标准方程为y2＝12x，其...
