高二数学期末复习之双曲线http://www.dearedu.com一.典型例题1．求一条渐近线方程是，一个焦点是的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．1．[解析]：设双曲线方程为：，∵双曲线有一个焦点为（4，0），双曲线方程化为：，∴双曲线方程为：∴2．已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线总有公共点，试求实数k的取值范围.2．[解析]：联立方程组1222yxbkxy消去y得(2k2－1)x2+4kbx+（2b2+1）=0,当若b=0，则k；若，不合题意.当依题意有△=(4kb)2－4(2k2－1)(2b2+1)＞0，对所有实数b恒成立，∴2k2<1，得3．设双曲线C1的方程为，A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任意一点，引QB⊥PB，QA⊥PA，AQ与BQ交于点Q.（1）求Q点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C2，C1、C2的离心率分别为e1、e2，当时，e2的取值范围19．[解析]：（1）解法一：设P(x0,y0),Q(x,y)经检验点不合,因此Q点的轨迹方程为:a2x2－b2y2=a4（除点xyoxyoxyoxyo（－a,0）,(a,0)外）.解法二：设P(x0,y0),Q(x,y),∵PA⊥QA∴……（1）连接PQ，取PQ中点R,二、巩固练习1．到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（D）A．椭圆B．线段C．双曲线D．两条射线2．方程表示双曲线，则的取值范围是（D）A．B．C．D．或3．双曲线的焦距是（C）A．4B．C．8D．与有关4．已知m,n为两个不相等的非零实数，则方程mx－y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是(C)ABCD5．双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为（B）A．B．3C．D．6．焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是(B）①②A．B．C．D．7．若，双曲线与双曲线有（D）A．相同的虚轴B．相同的实轴C．相同的渐近线D．相同的焦点8．过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，且A、B两点都在左支上，则（F2为右焦点）的周长是（A）A．28B．22C．14D．129．已知双曲线方程为，过P（1，2）的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有（A）A．4条B．3条C．2条D．1条10．给出下列曲线：①4x+2y－1=0;②x2+y2=3;③④，其中与直线y=－2x－3有交点的所有曲线是（D）A．①③B．②④C．①②③D．②③④11．双曲线的右焦点到右准线的距离为_______________________．12．与椭圆有相同的焦点，且两准线间的距离为的双曲线方程为____13．直线与双曲线相交于两点，则=_________．14．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为15．已知动点P与双曲线x2－y2＝1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为－.（1）求动点P的轨迹方程；（2）设M(0，－1)，若斜率为k(k≠0)的直线l与P点的轨迹交于不同的两点A、B，若要使|MA|＝|MB|，试求k的取值范围．[解析]：(1)∵x2－y2＝1，∴c＝.设|PF1|＋|PF2|＝2a(常数a＞0)，2a＞2c＝2，∴a＞∴cos∠F1PF2＝＝＝－1∵|PF1||PF2|≤()2＝a2，∴当且仅当|PF1|＝|PF2|时，|PF1||PF2|取得最大值a2.此时cos∠F1PF2取得最小值－1，由题意－1＝－，解得a2＝3，∴P点的轨迹方程为＋y2＝1.(2)设l：y＝kx＋m(k≠0)，则由，将②代入①得：(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB中点Q(x0，y0)的坐标满足：x0＝即Q(－)∵|MA|＝|MB|，∴M在AB的中垂线上，∴klkAB＝k·＝－1，解得m＝…③又由于(*)式有两个实数根，知△＞0，即(6km)2－4(1＋3k2)[3(m2－1)]＝12(1＋3k2－m2)＞0④，将③代入④得12[1＋3k2－()2]＞0，解得－1＜k＜1，由k≠0，∴k的取值范围是k∈(－1，0)∪(0，1).
