高中数学第2章推理与证明 2.2.1 综合法和分析法第一课时综合法练习新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP免费

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第一课时综合法课时跟踪检测一、选择题1．已知a，b，c∈R，那么下列各式正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若ac＞bc，则a＞bC．若a2＞b2，则a＞bD.若a3＞b3，则a＞b解析：由不等式的性质可知D正确．答案：D2．已知0anB．bmnaD.mbmb，又y＝xa在(0，＋∞)是增函数，∴na>ma，∴na>ma>mb，故选D.答案：D3．已知a＞0，b＞0，＋＝1，则a＋2b的最小值为()A．7＋2B．2C．7＋2D.14解析：∵＋＝1，∴a＋2b＝(a＋2b)＝7＋＋≥7＋2当且仅当＝，b2＝，即a＝1＋，b＝3＋时等号成立．故选A.答案：A4．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x＋m(m为常数)，则f(－log35)的值为()A．4B．－4C．6D.－6解析：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝30＋m＝0，∴m＝－1，∴x≥0时，f(x)＝3x－1.∴f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－4，故选B.答案：B5．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a，b，c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立，∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)＞2(ab＋bc＋ca)，∴a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ca.此证法是()A．综合法B．换元法C．执果索因的逆推法D.两头凑的方法解析：该题证明是由已知条件入手证明结论成立，故是综合法证明．答案：A16．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则＋＋的最小值是()A．1B．3C．6D.9解析：∵a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.答案：D二、填空题7．在△ABC中，a＝3，A＝，则b＋2c的最大值是____________________．解析：由正弦定理＝＝得b＝＝2sinB，c＝2sinC，∴b＋2c＝2sinB＋4sinC＝2sinB＋4sin＝2sinB＋4×cosB＋4×sinB＝4sinB＋6cosB＝2sin(B＋φ)，∴b＋2c的最大值为2.答案：28．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)的值为________．解析：∵sinγ＝－sinα－sinβ，①cosγ＝－cosα－cosβ，②，两式分别平方相加∴(－sinα－sinβ)2＋(－cosα－cosβ)2＝1，即2＋2cos(α－β)＝1，cos(α－β)＝－.答案：－9．(2019·南城二中高二月考)已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．解析：∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.答案：4三、解答题10．已知0b＋lna；再取a＝，b＝，则a＋lnb＝－2，b＋lna＝－3，则有a＋lnb>b＋lna.2故猜想a＋lnb>b＋lna.(2)证明：令f(x)＝x－lnx，则f′(x)＝1－，当0f(b)，即a－lna>b－lnb，故a＋lnb>b＋lna.11．已知在△ABC中三边a，b，c所对的角为A，B，C，其中三边长a，b，c成等比数列，求证：acos2＋ccos2≥b.证明：∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.∴acos2＋ccos2＝＋＝(a＋c)＋(acosC＋ccosA)＝(a＋c)＋＝(a＋c)＋b≥＋＝b＋＝b，∴acos2＋ccos2≥b.12．设平面向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，且a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以a·b≤|a||b|，即a1b1＋a2b2≤×，当且仅当θ＝0时，等号成立．(1)利用上述想法(或其他方法)，结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(a＋a＋a)(b＋b＋b)成立；(2)试求函数y＝＋＋的最大值．解：(1)证明：设空间向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cosθ，所以|a·b|≤|a|·|b|，即|a1b1＋a2b2＋a3b3|≤·，所以(a1b1＋a2b2＋a3b3)2≤(a＋a＋a)(b＋b＋b)，当且仅当θ＝0时，等号成立．(2)设a＝(1,1,1)，b＝(，，)，且a与b的夹角为θ，因为y＝＋＋＝a·b，且y>0，所以y＝＋＋≤·，即y≤·＝3，当且仅当θ＝0(即a与b共线且方向相同)时，等号成立．即当＝＝时等号成立．此时x＝1.所以当x＝1时，函数y＝＋＋有最大值，ymax＝3.13．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则＋的最小值为________．解析：∵a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9.当且仅当＝且a＋b＝1时等号成立．答案：934

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