课时作业13椭圆的简单几何性质(2)知识点一直线与椭圆的交点问题1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.相切或相交答案C解析把x+y-3=0代入+y2=1得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0. Δ=242-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离.2.若直线y=kx+2与椭圆+=1相切,则斜率k的值是()A.B.-C.±D.±答案C解析把y=kx+2代入+=1得,(3k2+2)x2+12kx+6=0,因为直线与椭圆相切,∴Δ=(12k)2-4(3k2+2)×6=0,解得k=±.3.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是()A.B.C.∪D.∪答案C解析由得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.故选C.知识点二中点弦问题4.已知点P(4,2)是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,求直线l的方程.解解法一:由题意可设直线l的方程为y-2=k(x-4),而椭圆的方程可以化为x2+4y2-36=0.将直线方程代入椭圆的方程有(4k2+1)x2-8k(4k-2)x+4(4k-2)2-36=0.∴x1+x2==8,∴k=-.∴直线l的方程为y-2=-(x-4),即x+2y-8=0.解法二:设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),∴两式相减,有(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0.又x1+x2=8,y1+y2=4,∴=-,即k=-.∴直线l的方程为x+2y-8=0.知识点三相交弦的弦长问题5.已知直线y=x+1与椭圆+y2=1相交于A、B两点,求弦AB的长.解解法一:由消去y得5x2+8x=0.解得x=0或x=-,因此A,B(0,1),|AB|==.解法二:由消去y得5x2+8x=0.1设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=0,即|AB|======.一、选择题1.直线l:kx-y-k=0与椭圆+=1的位置关系是()A.相交B.相离C.相切D.不确定答案A解析 kx-y-k=0,∴y=k(x-1),即直线过定点(1,0),而(1,0)点在+=1的内部,故l与椭圆+=1相交.2.过坐标原点,作斜率为的直线,交椭圆+=1于A、B两点,则|AB|的长为()A.2B.4C.D.答案B解析由得x2=,得x=±,∴|AB|=|x2-x1|=×=4.3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为()A.3B.2C.2D.4答案C解析根据题意设椭圆方程为+=1(b>0),则将x=-y-4代入椭圆方程,得4(b2+1)y2+8b2y-b4+12b2=0, 椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,∴Δ=(8b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0,即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3,长轴长为2=2,故选C.4.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点.设O为坐标原点,则OA·OB等于()A.-3B.-C.-或-3D.±答案B解析不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0),则直线l的方程为y=x-1,由消去y,得3x2-4x=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=0,∴OA·OB=x1x2+y1y2=x1x2+(x1-1)(x2-1)=2x1x2-(x1+x2)+1=-+1=-.5.已知椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率为,则的值为()A.B.C.D.2答案A解析设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),由题意可得==,=-1,因为A,B在椭圆上,所以mx+ny=1,mx+ny=1,两式相减可得m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0.所以=-,即-1=-,所以-1=-·,即=.2二、填空题6.椭圆+y2=1的两个焦点为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|=________.答案解析 |PF1|+|PF2|=4,|PF1|==,∴|PF2|=4-=.7.椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于________.答案-1解析直线y=(x+c)过点F1,且倾斜角为60°,所以∠MF1F2=60°,从而∠MF2F1=30°,所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中,|MF1|=c,|MF2|=c,所以该椭圆的离心率e===-1.8.已知点P是椭圆x2+8y2=8上一点,则点P到直线l:x-y+4=0的最短距离为________.答案解析设与直线x-y+4=0平行且与椭圆相切的直线为x-y+a=0,联立方程得9y2-2ay+a2-8=0,Δ=4a2...