课时作业13椭圆的简单几何性质(2)知识点一直线与椭圆的交点问题1.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．相切或相交答案C解析把x＋y－3＝0代入＋y2＝1得＋(3－x)2＝1，即5x2－24x＋32＝0. Δ＝242－4×5×32＝－64<0，∴直线与椭圆相离．2．若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是()A.B．－C．±D．±答案C解析把y＝kx＋2代入＋＝1得，(3k2＋2)x2＋12kx＋6＝0，因为直线与椭圆相切，∴Δ＝(12k)2－4(3k2＋2)×6＝0，解得k＝±.3．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.B.C.∪D.∪答案C解析由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞或k＜－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.知识点二中点弦问题4.已知点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程．解解法一：由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0.将直线方程代入椭圆的方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0.∴x1＋x2＝＝8，∴k＝－.∴直线l的方程为y－2＝－(x－4)，即x＋2y－8＝0.解法二：设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，即k＝－.∴直线l的方程为x＋2y－8＝0.知识点三相交弦的弦长问题5.已知直线y＝x＋1与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，求弦AB的长．解解法一：由消去y得5x2＋8x＝0.解得x＝0或x＝－，因此A，B(0,1)，|AB|＝＝.解法二：由消去y得5x2＋8x＝0.1设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝0，即|AB|＝＝＝＝＝＝.一、选择题1．直线l：kx－y－k＝0与椭圆＋＝1的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．不确定答案A解析 kx－y－k＝0，∴y＝k(x－1)，即直线过定点(1,0)，而(1,0)点在＋＝1的内部，故l与椭圆＋＝1相交．2．过坐标原点，作斜率为的直线，交椭圆＋＝1于A、B两点，则|AB|的长为()A．2B．4C.D.答案B解析由得x2＝，得x＝±，∴|AB|＝|x2－x1|＝×＝4.3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为()A．3B．2C．2D．4答案C解析根据题意设椭圆方程为＋＝1(b>0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0， 椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2，故选C.4．经过椭圆＋y2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OA·OB等于()A．－3B．－C．－或－3D．±答案B解析不妨设直线l过椭圆的右焦点F(1,0)，则直线l的方程为y＝x－1，由消去y，得3x2－4x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝0，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－1)(x2－1)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－.5．已知椭圆mx2＋ny2＝1与直线x＋y＝1相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若直线OM的斜率为，则的值为()A.B.C.D．2答案A解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)，由题意可得＝＝，＝－1，因为A，B在椭圆上，所以mx＋ny＝1，mx＋ny＝1，两式相减可得m(x1－x2)(x1＋x2)＋n(y1－y2)(y1＋y2)＝0.所以＝－，即－1＝－，所以－1＝－·，即＝.2二、填空题6．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.答案解析 |PF1|＋|PF2|＝4，|PF1|＝＝，∴|PF2|＝4－＝.7．椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y＝(x＋c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．答案－1解析直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2.在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.8．已知点P是椭圆x2＋8y2＝8上一点，则点P到直线l：x－y＋4＝0的最短距离为________．答案解析设与直线x－y＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x－y＋a＝0，联立方程得9y2－2ay＋a2－8＝0，Δ＝4a2...
