2.2等差数列第2课时等差数列的性质A级基础巩固一、选择题1．设数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，那么由an＋bn所组成的数列的第37项值为()A．0B．37C．100D．－37解析：设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝25＋75＝100，c2＝a2＋b2＝100，故d＝c2－c1＝0，故cn＝100(n∈N*)，从而c37＝100.答案：C2．如果数列{an}是等差数列，则下列式子一定成立的有()A．a1＋a8＜a4＋a5B．a1＋a8＝a4＋a5C．a1＋a8＞a4＋a5D．a1a8＝a4a5解析：由等差数列的性质有a1＋a8＝a4＋a5.答案：B3．在等差数列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9的值为()A．30B．27C．24D．21解析：设b1＝39，b2＝33，b3＝a3＋a6＋a9，则b1，b2，b3成等差数列．所以39＋b3＝2b2＝66，b3＝66－39＝27.答案：B4．下面是关于公差d＞0的等差数列(an)的四个命题：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列是递增数列；p4：数列{an＋3nd}是递增数列．其中的真命题为()A.p1，p2B．p3，p4C．p2，p3D．p1，p4解析：因为an＝a1＋(n－1)d，d＞0，所以数列{an}是递增数列，故p1正确．同理知p4正确．命题p2中，因为nan＝na1＋n(n－1)d是n的二次函数所以其增减与a1，d的大小有关，故错误．命题p3中，因为＝＋d其增减性与a1与d的大小有关，所以p3错．答案：D5．下列说法中正确的是()A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列解析：因为a，b，c成等差数列，则2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．1答案：C二、填空题6．在等差数列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的根，则a5＋a8＝________．解析：由已知得a3＋a10＝3.又数列{an}为等差数列，所以a5＋a8＝a3＋a10＝3.答案：37．在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为________．解析：由等差数列的性质可知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝(a3＋a11)＋(a5＋a9)＋a7＝5a7＝100，所以a7＝20.所以3a9－a13＝2a9＋a9－a13＝(a5＋a13)＋a9－a13＝a5＋a9＝2a7＝40.答案：408．已知数列{an}满足a1＝1，若点在直线x－y＋1＝0上，则an＝________________．解析：由题设可得－＋1＝0，即－＝1，所以数列是以1为公差的等差数列，且首项为1，故通项公式＝n，所以an＝n2.答案：n2三、解答题9．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋…＋a5＝30，a6＋a7＋…＋a10＝80，求a11＋a12＋…＋a15.解：法一：因为1＋11＝6＋6，2＋12＝7＋7，…，5＋15＝10＋10，所以a1＋a11＝2a6，a2＋a12＝2a7，…，a5＋a15＝2a10.所以(a1＋a2＋…＋a5)＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2(a6＋a7＋…＋a10)．所以a11＋a12＋…＋a15＝2(a6＋a7＋…＋a10)－(a1＋a2＋…＋a5)＝2×80－30＝130.法二：因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a2＋…＋a5，a6＋a7＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a15也成等差数列，即30，80，a11＋a12＋…＋a15成等差数列．所以30＋(a11＋a12＋…＋a15)＝2×80，所以a11＋a12＋…＋a15＝130.10．数列{an}为等差数列，bn＝，又已知b1＋b2＋b3＝，b1b2b3＝，求{an}的通项公式．解：因为b1＋b2＋b3＝＋＋＝，b1b2b3＝＝，所以a1＋a2＋a3＝3.因为a1，a2，a3成等差数列，可设a1＝a2－d，a3＝a2＋d，所以a2＝1.由＋＋＝，得2d＋2－d＝，解得d＝2或d＝－2.当d＝2时，a1＝1－d＝－1，an＝－1＋2(n－1)＝2n－3；当d＝－2时，a1＝1－d＝3，an＝3－2(n－1)＝－2n＋5.B级能力提升1．若方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|＝()2A．1B.C.D.解析：设方程的四个根a1，a2，a3，a4依次成等差数列，则a1＋a4＝a2＋a3＝2，再设此等差数列的公差为d，则2a1＋3d＝2，因为a1＝，所以d＝，所以a2＝＋＝，a3＝＋1＝，a4＝＋＝，所以|m－n|＝|a1a4－a2a3|＝＝.答案：C2．若数列{an}为等差数列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，则ap＋q＝______________．解析：法一：因为ap＝aq＋(p－q)d，所以q＝p＋(p－q)d，即q－p＝...
