第68课几何概型及互斥事件的概率(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修3P110习题5改编)取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是.【答案】13(第1题)【解析】如图，取线段AB的两个三等分点C，D，则在线段CD内任何一点剪断都满足条件，所以所求概率为线段CD与AB的长度比，即P=13.2.(必修3P109练习3改编)在10000km2的海域中有40km2的大陆架贮藏着石油，假如在该海域中任意一点钻探，钻到油层面的概率是.【答案】1250【解析】P=4010000=1250.3.(必修3P115练习1改编)抛掷一枚质地均匀骰子的试验，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A+B发生的概率为.【答案】23【解析】事件A+B表示出现的点数为1，2，3，4，所以P=46=23.4.(必修3P120复习题6改编)一个装有6个彩色球(3红、2黄、1蓝)的盒子中随机取出2个球，则这2个球颜色相同的概率是.【答案】4151【解析】记3个红球为红1，红2，红3，2个黄球为黄1，黄2，1个蓝球为蓝1，则从这6个彩色球中随机取出2个球的所有可能情况为(红1，红2)，(红1，红3)，(红1，黄1)，(红1，黄2)，(红1，蓝1)，(红2，红3)，(红2，黄1)，(红2，黄2)，(红2，蓝1)，(红3，黄1)，(红3，黄2)，(红3，蓝1)，(黄1，黄2)，(黄1，蓝1)，(黄2，蓝1)，共15个基本事件.记事件A表示取出两个红球，事件B表示取出两个黄球，则事件A与事件B互斥，所以取出2个球颜色相同的概率为P(A+B)=P(A)+P(B)=315+115=415.5.(必修3P116习题4改编)在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：排队人数012345人以上概率0.10.160.30.30.10.04则至少有两人排队的概率为.【答案】0.74【解析】所求概率为1-(0.1+0.16)=0.74.1.几何概型(1)几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的测度(长度、面积及体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概型.(2)几何概型的概率公式在区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为P(A)=dD的测度的测度.(3)几何概型的特点①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限个；②每个基本事件出现的可能性相等.2.互斥事件与对立事件(1)互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.2(2)对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥事件不一定是对立事件.(3)互斥事件的概率如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).(4)对立事件的概率事件A的对立事件表示为A；对立事件的概率和等于1，即P(A)+P(A)=P(A+A)=1.【要点导学】要点导学各个击破几何概型例1如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，以圆心O为起点作射线OC，求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率.(例1)【思维引导】首先确定射线OC所在的区域，即区域D；然后确定所求的事件中射线OC所在区域d；分别计算区域D和d的测度；最后计算所求概率为dD的测度的测度.【解答】记F={作射线OC，使∠AOC和∠BOC都不小于30°}，作射线OD，OE，使∠BOD=30°，∠AOE=30°.当OC在∠DOE内时，∠AOC和∠BOC都不小于30°，所以P(F)=003090=13.3【精要点评】古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性都是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，而几何概型则是无限个；对于几何概型的应用题，关键是将实际问题转化为概型中的长度、角度、面积、体积等常见几何概型问题，构造出随机事件A对应的几何图形，利用图形的测度来求随机事件的概率.变式如图(1)，∠AOB=60°，OA=2，OB=5，在线段OB上任取一点C.(1)求△AOC为钝角三角形的概率；(2)求△AOC为锐角三角形的概率.【解答】如图(2)，由平面几何知识知，当AD⊥OB时，OD=1；当OA⊥AE时，OE=4，BE=1.(1)当且仅当点C在线段OD或BE(不包括端点)上时，△AOC为钝角三角形，记“△AOC为钝角三角形”为事件M，则P(M)=ODEBOB=115=0.4，即△AOC为钝角三角形的概率为0.4.(2)当且仅当点C在线段DE(不包括端点)上时，△AOC为锐角三角形，...
