第1讲变化率与导数、导数的计算[基础题组练]1．函数y＝x2cosx在x＝1处的导数是()A．0B．2cos1－sin1C．cos1－sin1D．1解析：选B.因为y′＝(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2·(cosx)′＝2xcosx－x2sinx，所以y′|x＝1＝2cos1－sin1.2．(2020·衢州高三月考)已知t为实数，f(x)＝(x2－4)(x－t)且f′(－1)＝0，则t等于()A．0B．－1C.D．2解析：选C.依题意得，f′(x)＝2x(x－t)＋(x2－4)＝3x2－2tx－4，所以f′(－1)＝3＋2t－4＝0，即t＝.3．(2020·温州模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x的图象在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))(x1＜x2＜0)处的切线互相垂直，则x2－x1的最小值为()A.B．1C.D．2解析：选B.因为x1＜x2＜0，f(x)＝x2＋2x，所以f′(x)＝2x＋2，所以函数f(x)在点A，B处的切线的斜率分别为f′(x1)，f′(x2)，因为函数f(x)的图象在点A，B处的切线互相垂直，所以f′(x1)f′(x2)＝－1.所以(2x1＋2)(2x2＋2)＝－1，所以2x1＋2＜0，2x2＋2＞0，所以x2－x1＝[－(2x1＋2)＋(2x2＋2)]≥＝1，当且仅当－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1，即x1＝－，x2＝－时等号成立．所以x2－x1的最小值为1.故选B.4．已知f(x)＝ax4＋bcosx＋7x－2.若f′(2018)＝6，则f′(－2018)＝()A．－6B．－8C．6D．8解析：选D.因为f′(x)＝4ax3－bsinx＋7.所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7＝－4ax3＋bsinx＋7.所以f′(x)＋f′(－x)＝14.又f′(2018)＝6，所以f′(－2018)＝14－6＝8，故选D.5.如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．41解析：选B.由题图可得曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，即f′(3)＝－.又因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.6．若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为()A．1B.C.D.解析：选B.因为定义域为(0，＋∞)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1，则在P(1，1)处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝＝.7．已知f(x)＝，g(x)＝(1＋sinx)2，若F(x)＝f(x)＋g(x)，则F(x)的导函数为________．解析：因为f′(x)＝＝＝，g′(x)＝2(1＋sinx)(1＋sinx)′＝2cosx＋sin2x，所以F′(x)＝f′(x)＋g′(x)＝＋2cosx＋sin2x.答案：＋2cosx＋sin2x8．(2020·绍兴市柯桥区高三模拟)已知曲线y＝x2－3lnx的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为________．解析：设切点为(m，n)(m＞0)，y＝x2－3lnx的导数为y′＝x－，可得切线的斜率为m－＝－，解方程可得，m＝2.答案：29．(2020·金华十校高考模拟)函数f(x)的定义域为R，f(－2)＝2018，若对任意的x∈R，都有f′(x)＜2x成立，则不等式f(x)＜x2＋2014的解集为________．解析：构造函数g(x)＝f(x)－x2－2014，则g′(x)＝f′(x)－2x＜0，所以函数g(x)在定义域上为减函数，且g(－2)＝f(－2)－22－2014＝2018－4－2014＝0，由f(x)＜x2＋2014有f(x)－x2－2014＜0，即g(x)＜0＝g(－2)，所以x＞－2，不等式f(x)＜x2＋2014的解集为(－2，＋∞)．答案：(－2，＋∞)10．如图，已知y＝f(x)是可导函数，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，令g(x)＝，则g′(4)＝________．解析：g′(x)＝′＝.由题图可知，直线l经过点P(0，3)和Q(4，5)，故k1＝＝.由导数的几何意义可得f′(4)＝，因为Q(4，5)在曲线y＝f(x)上，故f(4)＝5.故g′(4)＝＝＝－.答案：－11．已知函数f(x)＝x3＋x－16.2(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1.所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)因为切线与直线y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，所以x0＝±1.所以或即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)，切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.12．已知函数f(x)＝ax＋(x≠0)在x＝2处的切线方程...
