3.4.1导数的加法与减法法则3.4.2导数的乘法与除法法则(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝x3＋＋cosx，则f′(x)等于()A．3x2＋x－sinxB．x2＋x－sinxC．3x2＋x＋sinxD．3x2＋x－sinx【解析】f′(x)＝3x2＋x－sinx.【答案】D2．函数y＝的导数是()A.B．C.D．【解析】y′＝＝＝＝.【答案】A3．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a等于()A.B．C.D．【解析】f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝.【答案】D4．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于()A．0B．－4C．－2D．2【解析】f′(x)＝2x＋2f′(1)．∴f′(1)＝2＋2f′(1)．即f′(1)＝－2.∴f′(0)＝2(－2)＝－4.【答案】B5．曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．【解析】y′＝＝，故k＝.即曲线在点M处切线的斜率为.【答案】B二、填空题6．(2014·广东高考)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________.【解析】∵y′＝－5ex，∴所求切线斜率是k＝－5e0＝－5，∴切线方程是：y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.【答案】5x＋y＋2＝07．函数f(x)＝excosx，x∈[0,2π]，且f′(x)＝0则x＝________.【解析】f′(x)＝(excosx)′＝(ex)′cosx＋ex(cosx)′＝excosx－exsinx＝ex(cosx－sinx)，由f′(x)＝0，得ex(cosx－sinx)＝0.1∵ex>0，∴cosx－sinx＝0.∴cosx＝sinx，x∈[0,2π]．∴x＝或π.【答案】或π8．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【解析】y′＝3x2－10，由3x2－10＝2，得x＝±2.又∵P点在第二象限内，∴x＝－2，y＝－8＋20＋3＝15.∴P(－2,15)．【答案】(－2,15)三、解答题9．求下列函数的导数．(1)f(x)＝x·tanx；(2)f(x)＝.【解】(1)法一：y′＝(x·tanx)′＝＝＝＝.法二：y′＝(x·tanx)′＝x′·tanx＋x·(tanx)′＝tanx＋＝.(2)y′＝＝＝.10．已知函数f(x)＝＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，求a，b的值．【解】(1)f′(x)＝－.由于直线x＋2y－3＝0的斜率为－，且过点(1,1)，故即解得所以a＝1，b＝1.[能力提升]1．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a＝()A．2B．C．－D．－2【解析】∵y＝＝＝1＋，∴y′＝－.∴曲线y＝在点(3,2)处的切线斜率为k＝－，由题意知，ax＋y＋1＝0斜率为k′＝2，∴a＝－2.【答案】D2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－2－＝>0，解得x>2，故选C.【答案】C3．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．2【解析】过点P作y＝x－2的平行直线l，且与曲线f(x)＝x2－lnx相切．设P(x0，x－lnx0)，则直线l的斜率k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－(舍去)，∴点P的坐标为(1,1)．【答案】(1,1)4．已知曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝－(x－2)2，直线l与C1和C2都相切，求直线l的方程．【解】设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，－(x2－2)2)．对于C1：y′＝2x，则与C1相切于点P的切线方程为：y－x＝2x1(x－x1)，即y＝2x1x－x.①对于C2：y′＝－2(x－2)，则与C2相切于点Q的切线方程为：y＋(x2－2)2＝－2(x2－2)(x－x2)，即y＝－2(x2－2)x＋x－4.②因为两切线重合，所以由①②，得解得或所以直线l的方程为y＝0或y＝4x－4.3
