1.1.2空间向量基本定理课后篇巩固提升基础达标练1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点.若⃗A1B1=a,⃗A1D1=b,⃗A1A=c,则下列向量中与⃗B1M相等的向量是()A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.12a-12b+cD.-12a-12b+c解析⃗B1M=⃗B1B+⃗BM=⃗A1A+12¿)=c+12(-a+b)=-12a+12b+c.答案A2.对于空间一点O和不共线的三点A,B,C,且有6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC,则()A.O,A,B,C四点共面B.P,A,B,C四点共面C.O,P,B,C四点共面D.O,P,A,B,C五点共面解析由6⃗OP=⃗OA+2⃗OB+3⃗OC,得⃗OP−⃗OA=2(⃗OB−⃗OP)+3(⃗OC−⃗OP),即⃗AP=2⃗PB+3⃗PC,∴⃗AP,⃗PB,⃗PC共面.又三个向量的基线有同一公共点P,∴P,A,B,C四点共面.答案B3.(多选)已知点M在平面ABC内,并且对空间任意一点O,有⃗OM=x⃗OA+13⃗OB+13⃗OC,则x的值不可能为()A.1B.0C.3D.13解析 ⃗OM=x⃗OA+13⃗OB+13⃗OC,且M,A,B,C四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.答案ABC4.已知向量a,b,且⃗AB=a+2b,⃗BC=-5a+6b,⃗CD=7a-2b,则一定共线的三点是()A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D解析因为⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=3a+6b=3(a+2b)=3⃗AB,故⃗AD∥⃗AB,又⃗AD与⃗AB有公共点A,所以A,B,D三点共线.答案A5.给出下列命题:①若A,B,C,D是空间任意四点,则有⃗AB+⃗BC+⃗CD+⃗DA=0;②|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件;③若⃗AB,⃗CD共线,则AB∥CD;④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(其中x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面.其中错误命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析显然①正确;若a,b共线,则|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若⃗AB,⃗CD共线,则直线AB,CD可能重合,故③错误;只有当x+y+z=1时,P,A,B,C四点才共面,故④错误.答案C6.设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知⃗AB=e1+ke2,⃗BC=5e1+4e2,⃗DC=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,实数k=.解析 ⃗AD=⃗AB+⃗BC+⃗CD=7e1+(k+6)e2,且⃗AB与⃗AD共线,故⃗AD=x⃗AB,即7e1+(k+6)e2=xe1+xke2,故(7-x)e1+(k+6-xk)e2=0,又 e1,e2不共线,∴{7-x=0,k+6-kx=0,解得{x=7,k=1,故k的值为1.答案17.在以下三个命题中,真命题的序号为.①三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面;②若两个非零向量a,b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a,b共线;③若a,b是两个不共线的向量,而c=λa+μb(λ,μ∈R且λμ≠0),则{a,b,c}构成空间的一个基底.解析c与a,b共面,不能构成基底.答案①②8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且⃗OA=a,⃗OC=b,⃗OO'=c.(1)用a,b,c表示向量⃗AC';(2)设G,H分别是侧面BB'C'C和O'A'B'C'的中心,用a,b,c表示⃗GH.解析(1)⃗AC'=⃗AC+⃗CC'=⃗OC−⃗OA+⃗OO'=b+c-a.(2)⃗GH=⃗GO+⃗OH=-⃗OG+⃗OH=-12¿)+12¿)=-12(a+b+c+b)+12(a+b+c+c)=12(c-b).9.已知三个向量a,b,c不共面,并且p=a+b-c,q=2a-3b-5c,r=-7a+18b+22c,向量p,q,r是否共面?解假设存在实数λ,μ,使p=λq+μr,则a+b-c=(2λ-7μ)a+(-3λ+18μ)b+(-5λ+22μ)c. a,b,c不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p=λq+μr,∴p,q,r共面.10.如图所示,四边形ABCD和ABEF都是平行四边形,且不共面,M,N分别是AC,BF的中点.判断⃗CE与⃗MN是否共线?解 M,N分别是AC,BF的中点,而四边形ABCD,ABEF都是平行四边形,∴⃗MN=⃗MA+⃗AF+⃗FN=12⃗CA+⃗AF+12⃗FB.又 ⃗MN=⃗MC+⃗CE+⃗EB+⃗BN=-12⃗CA+⃗CE−⃗AF−12⃗FB,∴12⃗CA+⃗AF+12⃗FB=-12⃗CA+⃗CE−⃗AF−12⃗FB,∴⃗CE=⃗CA+2⃗AF+⃗FB=2(⃗MA+⃗AF+⃗FN)=2⃗MN,∴⃗CE∥⃗MN,即⃗CE与⃗MN共线.能力提升练1.已知非零向量e1,e2不共线,如果⃗AB=e1+e2,⃗AC=2e1+8e2,⃗AD=3e1-3e2,则A,B,C,D四点()A.一定共线B.恰是空间四边形的四个顶点C.一定共面D.一定不共面解析因为非零向量e1,e2不共线,⃗AB=e1+e2,⃗AC=2e1+8e2,⃗AD=3e1-3e2,所以5⃗AB−⃗AD=5e1+5e2-3e1+3e2=2e1+8e2=⃗AC,所以⃗AC=5⃗AB−⃗AD.由向量共面的充要条件可知,A,B,C,D四点共面.答案C2.在平行六面体ABCD-EFGH中,若⃗AG=x⃗AB-2y⃗BC+3z⃗DH,则x+y+z等于()A.76B.23C.34D.56解析由于⃗AG=⃗AB+⃗AD+⃗CG=⃗AB+⃗BC+⃗DH,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.答案D...
