第57讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是(C)A．k∈(－，)B．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)C．k∈(－，)D．k∈(－∞，－)∪(，＋∞)因为直线方程的一般式为kx－y＋2＝0，由d＝>1，得k∈(－，)．2．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为(B)A.5B．10C.15D．20最长弦为圆的直径2，最短弦为垂直于过(0,1)点和圆心的直径的弦，圆心(1,3)与点(0,1)的距离为＝，所以最短弦长为2＝2.所以四边形ABCD的面积为×2××2＝10.3．(2015·重庆卷)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝(C)A．2B．4C．6D．2由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36，所以|AB|＝6.4．(2016·山东卷)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．相离(方法一)由得两交点为(0,0)，(－a，a)．因为圆M截直线所得线段的长度为2，所以＝2.又a>0，所以a＝2.所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，所以|MN|＝＝.因为r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，所以两圆相交．(方法二)因为x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以M(0，a)，r1＝a.依题意，有＝，解得a＝2.以下同方法一．5．将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是(x－1)2＋y2＝1，若过点(3,0)的直线l和圆C相切，则直线l的斜率为±.将圆x2＋y2＝1沿x轴正向平移1个单位，将方程中x换为x－1，得到圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1，设直线l的方程为y＝k(x－3)，由d＝＝1得k＝±.6．(2016·新课标卷Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝4.如图所示，因为直线AB的方程为x－y＋6＝0，所以kAB＝，所以∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.在Rt△BOD中，因为|OB|＝2，所以|OD|＝2.取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，所以OH为直角梯形ABDC的中位线，所以|OC|＝|OD|，所以|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.7．(2017·新课标卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由．(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．(1)不能出现AC⊥BC的情况．理由如下：设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.又点C的坐标为(0,1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.联立又x＋mx2－2＝0，可得所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．8．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(B)A．[－，0]B．[－，]C．[－，]D．[－，0]因为圆心(2,3)到直线y＝kx＋3的距离d＝，所以|MN|＝2＝2≥2，解得3k2≤1，即k∈[－，]．9．若两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则实数a＝±2或0.当两圆外切时，C1C2＝＝5＋1，所以a＝±2；当两圆内切时，C1C2＝＝5－1，所以a＝0.所以a＝±2或0.10．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．(1)若圆C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．(1)由题意知，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线的方程为y＝kx＋3.由题意，得＝1，解得k＝0或k＝－.故所求切线的方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，则C(a,2(a－2))，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，所以＝2.化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4.所以点M在以D(0，－1)为圆心，半径为2的圆上．由题意知，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤|2＋1|，即1≤≤3，解得0≤a≤.所以圆心C的横坐标a的取值范围为[0，]．
