高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法互动课堂 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

高中数学第2章推理与证明2.3数学归纳法互动课堂苏教版选修2-2疏导引导一、数学归纳法的概念与注意事项1.数学归纳法的概念(1)归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫做归纳法.(2)数学归纳法：在证明某些与自然数有关的命题时，如果先证明当n取第一个值n0(例如n0=1或n0=2)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立，并证明当n=k+1时命题也成立.因为证明了这一点，就可以断定这个命题对于n取第一个值n0后面的所有正整数也都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.2.用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题的步骤：(1)证明当n取第一个值n0时结论成立;(2)假设当n=k(k∈N*,k≥n0)时结论成立，证明当n=k+1时结论也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于从n0开始的所有自然数n都成立.3.数学归纳法是专门证明与自然数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法，是对不完全归纳法的完善.证明分两步，其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题又称“归纳递推”.数学归纳法用框图表示如下:4.运用数学归纳法证明有关命题注意以下几点：(1)两个步骤缺一不可.(2)在第一步中，n的初始值不一定从1取起，也不一定只取一个数(有时需取n=n0，n0＋1等)，证明应视具体情况而定.(3)第二步中证明n=k+1时，必须使用归纳假设，否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系，造成推理无效.(4)证明n=k+1成立时，要明确求证的目标形式，一般要凑出归纳假设里给出的形式，以便使用归纳假设，然后再去凑出当n=k+1时的结论，这样就能有效减少论证的盲目性.(5)用数学归纳法可证明有关正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析.数学归纳法的理论根据是皮亚诺的归纳公理：任何一个正整数集A，若(1)1∈A;(2)由k∈A可推出k+1∈A,则A含有所有的正整数.二、运用数学归纳法时易犯的错误1.在证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，因此，n不一定是1.如证明凸n边形的对角线的条数为f(n)=n(n-3)，第一步要验证n=3.因为边数最少的凸n边形是三角形.又如证明对于足够大的正整数n，总有不等式2n＞n3.虽然n=1时，21＞13不等式成立，但是n=2,3,…8,9时，不等式均不成立，所以第一步要验证n=10时不等式成立.1此外，即使第一步是验证n=1，但n=1时，所验证的式子不一定是一项.如证明1+2+3+…+n+(n+1)+(n+2)=，n=1时，等式左边有三项，即1+2+3.2.第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n=k+1时，一定要运用它，否则就不是数学归纳法.如在证明等式1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·+时，第二步假设n=k时等式成立，即1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1=(-1)k-1·，则当n=k+1时，有1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k=+(-1)k·成立，这种证明根本就没有用到归纳假设，而是利用等比数列求和公式直接算出来，因此是套用数学归纳法步骤的一种伪证，这是利用数学归纳法证题之大忌.又如有人用数学归纳法证明不等式(n∈N*)时，第二步如下：假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，=(k+1)+1，所以n=k+1时不等式成立.由(1)、(2)知，不等式(n∈N+)成立.以上证明过程是错误的.错在n=k+1时，直接用放缩法而没有使用归纳假设.3.注意由n=k到n=k+1的证明过程中，待证式中的项数的变化.如在证明不等式(n∈N*)时，第二步假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，有成立，从而得证.在这里，错以为由n=k到n=k+1时，只增加一项.事实上，本题由n=k到n=k+1时增加的项是，而减少的项是.象这种每一项都与n有关的“和、差、积、商”式，由n=k到n=k+1时一定要仔细计算其增加和减少的项数.4.注意不要机械套用数学归纳法中的两个步骤，要明确在递推步骤中，两步相差的是否为1.例如有人证明当n为正奇数时，7n+1能被8整除时是这样证的：(1)当n=1时，7+1=8能被8整除.命题成立.(2)假设n=k时命题成立.即7k+1能被8整除.则当n=k+1时，7k+1+1=7(7k+1)-6不能被8整除.2由(1)、(2)知n为正偶数时，7n+1就不能被8整除.上述证法机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是正奇数的条件.事实上，第二步证明应如下：假设n=k时命题成立...