2.4.2抛物线的简单几何性质课时演练·促提升A组1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.2C.4D.2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则点M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2.∴抛物线方程为y2=4x. 点M(2,y0)在抛物线y2=4x上,∴=4×2.∴y0=±2.∴|OM|==2.答案:B2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得消去x,得到关于y的方程ky2-8y+16k=0.当k=0时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点;当k≠0时,应有Δ≥0,即64-64k2≥0,解得-1≤k≤1且k≠0.综上可知,l斜率的取值范围是[-1,1].答案:C3.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,故=-4.答案:B4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则|AF|的长为()A.2B.4C.6D.8解析:由已知得直线AF的方程为y=(x-1).代入y2=4x,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.当x=3时,y=2;当x=时,y=-,则A(3,2),故|AF|=3+1=4.答案:B5.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则∠A1FB1等于()A.45°B.90°C.60°D.120°解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1.又因为∠AA1F=∠A1FO,所以∠AFA1=∠A1FO,同理∠BFB1=∠B1FO,所以∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1.故∠A1FB1=90°.答案:B6.AB是过抛物线x2=4y焦点的弦,且|AB|=10,则AB的中点的纵坐标为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,故AB的中点的纵坐标为4.答案:417.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是.解析:直线x+2=0即为抛物线的准线,依题意,圆心在抛物线上,圆心到准线的距离应等于它到定点的距离,该定点必为抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)8.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,求这个正三角形的边长.解:如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2. OA=OB,∴,即+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. x1>0,x2>0,2p>0,∴x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由此得∠AOx=30°,∴y1=x1.与=2px1联立,解得y1=2p,∴AB=2y1=4p.9.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l,被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.解:当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程是y2=2px(p>0),则焦点F,直线l为y=x-.设直线l与抛物线的交点A(x1,y1),B(x2,y2),过A,B分别向抛物线的准线作垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|==x1+x2+p=6,故x1+x2=6-p.①由消去y,得=2px,即x2-3px+=0,则x1+x2=3p.代入①式,得3p=6-p,解得p=.故所求抛物线的标准方程是y2=3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x.B组1.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作直线交抛物线C于A,B两点,则△AOB的最小面积是()A.B.2C.4D.1解析:设AB的倾斜角为θ,由弦长公式得|AB|=. 原点O到直线AB的距离d=sinθ,∴S△AOB=sinθ·.∴当sinθ=1时,(S△AOB)min=2,故选B.答案:B2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为.解析:如图,y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,K(-2,0).作AH⊥KH交准线于点H,则|AH|=|AF|. |AK|=|AF|,则|AK|=|AH|,∴△AHK为等腰直角三角形,则△AFK为等腰直角三角形,|AF|=|KF|=4.∴S△AFK=·|AF|·|KF|=8.2答案:83.在直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p>0),过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,给出下列结论:(1)OA⊥OB;(2)△AOB的最小面积为4p2;(3)x1x2=-4p2.其中正确的结论是.解析:设直线AB的方程为x=my+2p,代入y2=2px,得y2-2pmy-4p2=0,∴y1+y2=2pm,y1y2=-4p2.∴x1x2=(my1+2p)·(my2+2p)=m2y1y2+2pm·(y1+y2)+4p2.∴y1y2+x1x2=...
