课时跟踪检测（九）空间向量与平行关系一、基本能力达标1．已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝解析：选D l1∥l2，设a＝λb，∴(2,4,5)＝λ(3，x，y)，∴x＝6，y＝.2．已知l∥π，且l的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为，则m＝()A．－8B．－5C．5D．8解析：选A l∥π，∴直线l的方向向量与平面π的法向量垂直．∴2＋＋2＝0，m＝－8.3．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则()A．α∥βB．α⊥βC．α与β相交但不垂直D．α∥β或α与β重合解析：选D n＝－3m，∴m∥n，∴α∥β或α与β重合．4.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：选C A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．5．已知两直线l1与l2的方向向量分别为v1＝(1，－3，－2)，v2＝(－3,9,6)，则l1与l2的位置关系是________．解析： v2＝－3v1，∴l1∥l2或l1与l2重合．答案：平行或重合6．若平面π1的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且π1∥π2，则y＋z＝________.解析： π1∥π2，∴n1∥n2.∴＝＝.∴y＝1，z＝－4.∴y＋z＝－3.答案：－37.如图，在四棱锥O－ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC＝，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点，N为BC的中点．证明：直线MN∥平面OCD.证明：作AP⊥CD于点P.如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．1则A(0,0,0)，B(1,0,0)，P，D，O(0,0,2)，M(0,0,1)，N.MN＝，OP＝，OD＝.设平面OCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·OP＝0，n·OD＝0.即取z＝，解得n＝(0,4，)． MN·n＝(1－，，－1)·(0,4，)＝0，∴MN⊥n.又MN⃘平面OCD，∴MN∥平面OCD.8．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明：如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2，2,2)，所以FC1＝(0,2,1)，DA＝(2,0,0)，AE＝(0,2,1)．(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥DA，n1⊥AE，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．因为FC1·n1＝－2＋2＝0，所以FC1⊥n1.又因为FC1⃘平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为C1B1＝(2,0,0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．由n2⊥FC1，n2⊥C1B1，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.二、综合能力提升1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，则能使l∥α的是()A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：选D直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，则a⊥n，∴a·n＝0.2只有D中a·n＝0.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定解析：选B建系如图，设正方体的棱长为2，则A(2,2,2)，A1(2,2,0)，C(0,0,2)，B(2,0,2)，∴M(2,1,1)，N(1,1,2)，∴MN＝(－1,0,1)．又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(0,1,0)， －1×0＋0×1＋1×0＝0，∴MN⊥n，∴MN∥平面BB1C1C.故选B.3．在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.证明：法一：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)，PQ＝(－3,2,1)，RS＝(－3,2,1)，∴PQ＝RS，∴PQ∥RS，即PQ∥RS.法二：RS＝RC＋CS＝DC－DA＋DD1，PQ＝PA1＋A1Q＝DD1＋DC－DA，∴RS＝PQ，∴RS∥PQ，即RS∥PQ.4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3...
