1.4.3含有一个量词的命题的否定一、选择题1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是()A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数[答案]B[解析]量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B．2．(2015·潍坊四县联考)命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是()A．∀x∈R，|x|>0B．∃x0∈R，|x0|>0C．∀x∈R，|x|≤0D．∃x0∈R，|x0|≤0[答案]C[解析]由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C．3．(2015·东北三校模拟)已知命题p：∃x∈(0，)，sinx＝，则¬p为()A．∀x∈(0，)，sinx＝B．∀x∈(0，)，sinx≠C．∃x∈(0，)，sinx≠D．∃x∈(0，)，sinx>[答案]B[解析]¬p表示命题p的否定，即否定命题p的结论，由“∃x∈m，p(x)”的否定为“∀x∈m，¬p(x)”知选B4．(2015·湖北省八校联考)命题“∀x∈R，ex>x2”的否定是()A．不存在x∈R，使ex>x2B．∃x∈R，使ex”的否定为“≤”，故选C．5．(2015·韶关市曲江一中月考)下列说法正确的是()A．“a>1”是“f(x)＝logax(a>0，a≠1)在(0，＋∞)上为增函数”的充要条件B．命题“∃x∈R使得x2＋2x＋3<0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋3>0”C．“x＝－1”是“x2＋2x＋3＝0”的必要不充分条件D．命题p：“∀x∈R，sinx＋cosx≤”，则¬p是真命题[答案]A[解析]a>1时，f(x)＝logax为增函数，f(x)＝logax(a>0且a≠1)为增函数时，a>1，∴A正确；“<”的否定为“≥”，故B错误；x＝－1时，x2＋2x＋3≠0，x2＋2x＋3＝0时，x无解，故C错误； sinx＋cosx＝sin(x＋)≤恒成立，∴p为真命题，从而¬p为假命题，∴D错误．6．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是()A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根[答案]C[解析]¬p：对任意实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根，故选C．二、填空题7．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是______.[答案]任意x∈R，使得x2＋2x＋5≠0[解析]特称命题的否定是全称命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．8．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为________.[答案]过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内[解析]原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．9．命题“∃x∈R，使x2＋ax＋1<0”为真命题，则实数a的取值范围是________.[答案]a>2或a<－2[解析]由于∃x∈R，使x2＋ax＋1<0，又二次函数f(x)＝x2＋ax＋1开口向上，故Δ＝a2－4>0，所以a>2或a<－2.三、解答题10．写出下列命题的否定并判断真假：(1)不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；(2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(3)某些梯形的对角线互相平分；(4)被8整除的数能被4整除．[解析](1)这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0都有实数根”，其否定是¬p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程没有实根，因此¬p是真命题．(2)命题的否定是：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除，是假命题．(3)命题的否定：任一个梯形的对角线都不互相平分，是真命题．(4)命题的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除，是假命题．一、选择题1．(2015·浙江理)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB．∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC．∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D．∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0[答案]D[解析]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”其否定为：“∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0”．2．已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是()A．∀a、b∈R，如果ab<0...
