高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式自我小测 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式自我小测1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是()A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，且n＞1)时，第一步应证下述哪个不等式成立()A．1＜2B．1＋＜2C．1＋＋＜2D．1＋＜23．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋＜(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项B．增加了两项，C．增加了两项，，但减少了一项D．以上各种情况均不正确4．某同学回答“用数学归纳法证明＜n＋1(n∈N＋)”的过程如下：证明：(1)当n＝1时，显然命题是正确的；(2)假设当n＝k(k≥1)时有＜k＋1，那么当n＝k＋1时，＝＜＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时命题是正确的．由(1)(2)可知对于n∈N＋，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于()A．从k到k＋1的推理过程没有使用归纳假设B．归纳假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体5．在△ABC中，不等式＋＋≥成立；在四边形ABCD中，不等式＋＋＋≥成立；在五边形ABCDE中，不等式＋＋＋＋≥成立．猜想在n边形A1A2…An中，其不等式为__________．6．设数列{an}满足a1＝0，an＋1＝ca＋1－c，n∈N＋，其中c为实数．(1)证明an∈[0,1]对任意n∈N＋成立的充分必要条件是c∈[0,1]；(2)设0＜c＜，证明an≥1－(3c)n－1，n∈N＋.7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝2(log2an＋1)(n∈N＋)，证明对任意的n∈N＋，不等式··…·＞成立．1参考答案1．D2．C3．解析：当n＝k时，不等式为＋＋…＋＜；当n＝k＋1时，不等式左边＝＋＋…＋＋＋＝＋＋…＋＋＋.比较n＝k和n＝k＋1，易知选C.答案：C4．解析：证明＜(k＋1)＋1时进行了一般意义的放大．而没有使用归纳假设＜k＋1.答案：A5．＋＋＋…＋≥6．证明：(1)必要性：∵a1＝0，∴a2＝1－c.又∵a2∈[0,1]，∴0≤1－c≤1，即c∈[0,1]．充分性：设c∈[0,1]，对n∈N＋用数学归纳法证明an∈[0,1]．当n＝1时，a1＝0∈[0,1]．假设ak∈[0,1](k∈N＋，k≥1)，则ak＋1＝ca＋1－c≤c＋1－c＝1，且ak＋1＝ca＋1－c≥1－c≥0，∴ak＋1∈[0,1]．由数学归纳法，知an∈[0,1]对所有的n∈N＋成立．综上，可得an∈[0,1]对任意n∈N＋成立的充分必要条件是c∈[0,1]．(2)设0＜c＜，当n＝1时，a1＝0，结论成立．当n≥2时，∵an＝ca＋1－c，∴1－an＝c(1－a)＝c(1－an－1)(1＋an－1＋a)．∵0＜c＜，由(1)知an－1∈[0,1]，∴1＋an－1＋a≤3且1－an－1≥0.∴1－an≤3c(1－an－1)．∴1－an≤3c(1－an－1)≤(3c)2(1－an－2)≤…≤(3c)n－1(1－a1)＝(3c)n－1.∴an≥1－(3c)n－1(n∈N＋)．7．答案：(1)解：因为对任意的n∈N＋，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上，所以Sn＝bn＋r.当n＝1时，a1＝S1＝b＋r.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bn＋r－(bn－1＋r)＝bn－bn－1＝(b－1)bn－1.又因为{an}为等比数列，所以r＝－1，公比为b，an＝(b－1)bn－1(n∈N＋)．(2)证明：当b＝2时，an＝(b－1)bn－1＝2n－1，bn＝2(log2an＋1)＝2(log22n－1＋1)＝2n，则＝，所以··…·＝×××…×.下面用数学归纳法证明不等式··…·＝×××…×＞成立．①当n＝1时，左边＝，右边＝，因为＞，所以不等式成立．②假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即··…·＝×××…×＞成立，则当n＝k＋1时，左边＝··…··＝×××…××＞·＝＝＝＞.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可得所证不等式恒成立．2