【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第4篇第3节平面向量的数量积及平面向量的应用课时训练理【选题明细表】知识点、方法题号平面向量的数量积3、4、8平面向量的夹角及垂直问题2、5、9平面向量的模1、6、7平面向量数量积的综合问题10、11、12平面向量与其他知识交汇问题13、14、15、16基础过关一、选择题1.(2013高考辽宁卷)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为(A)(A)(,-)(B)（,-）(C)（-,）(D)（-,）解析:=(3,-4),则与同方向的单位向量为=(3,-4)=（,-）.故选A.2.(2014高考四川卷)平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且c与a的夹角等于c与b的夹角,则m等于(D)(A)-2(B)-1(C)1(D)2解析:法一由已知得c=(m+4,2m+2),因为cos=,cos=,所以=,又由已知得|b|=2|a|,所以2c·a=c·b,即2[(m+4)+2(2m+2)]=4(m+4)+2(2m+2),解得m=2.故选D.法二易知c是以ma,b为邻边的平行四边形的对角线向量,因为c与a的夹角等于c与b的夹角,则m>0,所以该平行四边形为菱形,又由已知得|b|=2|a|,故m=2.故选D.3.已知向量a=(1,2),b=(x,-4),若a∥b,则a·b等于(A)(A)-10(B)-6(C)0(D)6解析:由a∥b得2x=-4,x=-2,故a·b=(1,2)·(-2,-4)=-10.故选A.4.若向量a,b满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b,则|b|等于(B)(A)2(B)(C)1(D)解析:利用向量的运算列式求解.由题意知即将①×2-②得,2a2-b2=0,∴b2=|b|2=2a2=2|a|2=2,故|b|=.故选B.5.在△ABC中,=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),则角B等于(B)(A)(B)(C)(D)解析:·=2cos18°cos63°+2cos72°cos27°=2sin27°cos18°+2cos27°sin18°=2sin(27°+18°)=2sin45°=.而||=1,||=2,∴cosB==,又B∈(0,π),∴B=.故选B.二、填空题6.(2014四川成都石室模拟)已知向量a、b满足a=(1,0),b=(2,4),则|a+b|=.解析:|a+b|=|(3,4)|==5.答案:57.(2014高考江西卷)已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=.解析:a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8, |a|2=(3e1-2e2)2=9+4-12×1×1×=9.∴|a|=3.同理,|b|=2.∴cosβ===.答案:8.正三角形ABC中,D是边BC上的点,AB=3,BD=1,则·=.解析:法一·=3×3×cos60°=,=+=+=+(-)=+,∴·=·（+）=+·=.法二以B为原点,BC所在的直线为x轴,建立坐标系,则B(0,0),A（,）,D(1,0).所以=（-,-）,=（-,-）,所以·=（-）×（-）+（-）2=.答案:9.(2014安徽巢湖模拟)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是.解析:由题意知,a·b>0且a与b不共线,所以解得λ<-或0<λ<或λ>,所以λ的取值范围是（-∞,-）∪（0,）∪（,+∞）.答案:（-∞,-）∪（0,）∪（,+∞）10.关于平面向量a,b,c,有以下命题:①若a·b=a·c,则b=c.②若a=(1,k),b=(-2,6),a⊥b,则k=.③非零向量a和b,满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为60°④非零向量a和b,满足|a+b|=|a-b|,则a⊥b其中真命题的序号为.解析:命题①明显不正确;对于②向量垂直的充要条件易得k=,命题②正确;对于③,可结合平行四边形法则,得a与a+b的夹角为30°,命题③不正确;对于④,由|a+b|=|a-b|得(a+b)2=(a-b)2,∴a·b=0,∴a⊥b,命题④正确.答案:②④三、解答题11.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解:(1)由a⊥b,得a·b=0,故2x+3-x2=0,解得x=-1或x=3.(2)a-b=(-2x-2,2x),因为a∥b,所以x(2x+3)+x=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a-b=(-2,0),|a-b|==2.当x=-2时,a-b=(2,-4),|a-b|==2.综上,|a-b|为2或2.12.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,(1)求a与b的夹角θ;(2)求|a+b|;(3)若=a,=b,求△ABC的面积.解:(1) (2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6.∴cosθ===-.又0≤θ≤π,∴θ=.(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13,∴|a+b|=.(3) 与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=.又||=|a|=4,||=|b|=3,∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3.能力提升13.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使·有最小值,则P点的坐标是(C)(A)(-3,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)解析:设P点的坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1....
