《求闭区间上二次函数的最值的方法归纳》VIP专享VIP免费

闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数y=-x2+4x-2在区间b,3〕上的最大值是,最小值是解：函数y=-兀2+4x-2=-(x-2)2+2是定义在区间10,3」上的二次函数,其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0,3］上，如图1所示。函数的最大值为f⑵=2，最小值为f(0)=-2。图1例2.已知2x2<3x，求函数f(x)=x2+x+1的最值。3「3"解：由已知2x2<3x,可得00)，它的图象是顶点为［-L，、对称轴为x=-b、开口向上的抛物线。由数形结合V2a4a丿2a可得在L，n］上f(x)的最大值或最小值：(1)当-2a儿，订时，f(x)的最小值是f〔一2^>气产，f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者。(2)当一丄Im，n］时2a若-丄0，求函数f(x)=x2+ax+3的最值。解：由已知有-12,于是函数f(x)是定义在区间L1,1］上的二次函数，将f(x)配方得：图二次函数f(x)的对称轴方程是x=-2顶点坐标为-a，3-巴，图象开口向上I24丿由a>2可得x=-上<-1，显然其顶点横坐标在区间L1，1］的左侧或左端点2上。函数的最小值是f(-1)=4-a，最大值是f(1)=4+a。图3例4.已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间1-4，1」上的最大值为5,求实数a的值。解：将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1，其对称轴方程为x=-2，顶点坐标为-2，a2-4a-1)，图象开口方向由决定。很明显，其顶点横坐标在区间~4,1］上。若a<0，函数图象开口向下，如图4所示，当x=-2时，函数取得最大值5即f(-2)=a2-4a-1=5解得a=2±斗10故a=2—€10(a=2+J10舍去)图4若a>0时，函数图象开口向上，如图5所示，当x=1时，函数取得最大值5即f(1)二5a+a2-1二5解得a=1或a=—6故a=1（a=一6舍去）图5综上讨论，函数f(x)在区间1—4，11上取得最大值5时，a=2-"0或a=1解后反思：例3中，二次函数的对称轴是随参数a变化的，但图象开口方向是固定的；例4中，二次函数的对称轴是固定的，但图象开口方向是随参数a变化的。三.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数t而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5.如果函数f(x)=(x-1)2+1定义在区间Lt+1］上，求f(x)的最小值。解:函数f(x)=(x-1)2+1，其对称轴方程为x=1，顶点坐标为(1，1)，图象开口向上。如图6所示，若顶点横坐标在区间Lt+1］左侧时，有11综上讨论，f(x)=]1,04。当x=t-2时,函数取得最小值f(t-2)=(t-4)2-8=12-8t+8若顶点横坐标在区间L-2，t-1］上,则t...