闭区间上二次函数的最值二次函数是最简单的非线性函数之一,自身性质活跃,同时经常作为其他函数的载体。二次函数在某一区间上的最值问题,是初中二次函数内容的继续和发展,随着区间的确定或变化,以及在系数中增添参变数,使其又成为高考数学中的热点。一.定二次函数在定区间上的最值二次函数是给定的,给出的定义域区间也是固定的,我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。例1.函数y=-x2+4x-2在区间b,3〕上的最大值是,最小值是解:函数y=-兀2+4x-2=-(x-2)2+2是定义在区间10,3」上的二次函数,其对称轴方程是x=2,顶点坐标为(2,2),且其图象开口向下,显然其顶点横坐标在[0,3]上,如图1所示。函数的最大值为f⑵=2,最小值为f(0)=-2。图1例2.已知2x2<3x,求函数f(x)=x2+x+1的最值。3「3"解:由已知2x2<3x,可得00),它的图象是顶点为[-L,、对称轴为x=-b、开口向上的抛物线。由数形结合V2a4a丿2a可得在L,n]上f(x)的最大值或最小值:(1)当-2a儿,订时,f(x)的最小值是f〔一2^>气产,f(x)的最大值是f(m)、f(n)中的较大者。(2)当一丄Im,n]时2a若-丄0,求函数f(x)=x2+ax+3的最值。解:由已知有-12,于是函数f(x)是定义在区间L1,1]上的二次函数,将f(x)配方得:图二次函数f(x)的对称轴方程是x=-2顶点坐标为-a,3-巴,图象开口向上I24丿由a>2可得x=-上<-1,显然其顶点横坐标在区间L1,1]的左侧或左端点2上。函数的最小值是f(-1)=4-a,最大值是f(1)=4+a。图3例4.已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间1-4,1」上的最大值为5,求实数a的值。解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1,其对称轴方程为x=-2,顶点坐标为-2,a2-4a-1),图象开口方向由决定。很明显,其顶点横坐标在区间~4,1]上。若a<0,函数图象开口向下,如图4所示,当x=-2时,函数取得最大值5即f(-2)=a2-4a-1=5解得a=2±斗10故a=2—€10(a=2+J10舍去)图4若a>0时,函数图象开口向上,如图5所示,当x=1时,函数取得最大值5即f(1)二5a+a2-1二5解得a=1或a=—6故a=1(a=一6舍去)图5综上讨论,函数f(x)在区间1—4,11上取得最大值5时,a=2-"0或a=1解后反思:例3中,二次函数的对称轴是随参数a变化的,但图象开口方向是固定的;例4中,二次函数的对称轴是固定的,但图象开口方向是随参数a变化的。三.定二次函数在动区间上的最值二次函数是确定的,但它的定义域区间是随参数t而变化的,我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。例5.如果函数f(x)=(x-1)2+1定义在区间Lt+1]上,求f(x)的最小值。解:函数f(x)=(x-1)2+1,其对称轴方程为x=1,顶点坐标为(1,1),图象开口向上。如图6所示,若顶点横坐标在区间Lt+1]左侧时,有11综上讨论,f(x)=]1,04。当x=t-2时,函数取得最小值f(t-2)=(t-4)2-8=12-8t+8若顶点横坐标在区间L-2,t-1]上,则t...