第1页共9页八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）cab图1CPABabc图2PCBAabc图3CBPAabc图4PCO2BA方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（C）A．B．C．D．（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是解：（1），，，，选C；（2），（3）在正三棱锥SABC中，MN、分别是棱SCBC、的中点，且,若侧棱23SA,则正三棱锥外接球的表面积是。解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，，，，平面，，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，本题图如图（3）-2，，，，，平面，，，，，平面，，故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，，即，正三棱锥外接球的表面积是（4）在四面体SABC中，，则该四面体的外接球的表面积为（D）（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是(3)题-1HEDBACS(3)题-2MNABCS第2页共9页（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为解析：（4）在中，，，的外接球直径为，，，选D（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则，，，，，，，（6），，，类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）1．题设：如图5，平面解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点图6PADO1OCB图7-1PAO1OCB图7-2PAO1OCB图8PAO1OCB图5ADPO1OCBCAPB第3页共9页图8-1DPOO2ABC图8-2POO2ABC图8-3DPOO2AB解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出方法二：小圆直径参与构造大圆。例2一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为()CA．3B．2C．316D．以上都不对解：选C，,,,,类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）图9-1ACBP图9-2AO1OCBP图9-3PAO1OCB图9-4AO1OCBP1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；第4页共9页第二步：在中，可根据正弦定理，求出2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②例3（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为。（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为解：（1）由正弦定理或找球心都可得，，（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，，，（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B.3C.4D.43解：选D，圆锥在以的圆上，（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC，则此棱锥的体积为（）AA．26B．36C．23D．22解：，，第5页共9页类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）图10-1C1B1AA1O1OO2BC图10-2C1B1AA1O1OO2BC图10-3C1B1AA1O1OO2BC题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱...
