初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题1.试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径.(书本定理的证明)2.如图，已知AB=1，点C是线段AB的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金比.（书本习题）3.三座城市A、B、C分别位于一个等腰三角形ABC的三个顶点处，且AB=AC=50km，BC=80km，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案.方案一：沿AB、BC铺设；方案二：沿BC，和BC边上的中线AD铺设；方案三：在内找一点O，使OA=OB=OC，沿OA=OB=OC铺设.(1)请你用尺规画出三种方案的示意图；（2）请你在这三种方案中选择最短的方案，并加以说明.4.如图，在△中，，点在边上，，且．将△以直线为轴做轴对称变换，得到△，连接，（1）求证；（2）求的大小．ABCDC/5.已知抛物线①经过点A（-1,0）、B（4,5）、C（0,-3），其对称轴与直线BC交于点P。（1）求抛物线①的表达式及点P的坐标；（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P，求上下平移的方向和距离；（3）设抛物线②的顶点为D，与y轴的交点为E，试求∠EDP的正弦值.参考答案：4.（1） △是△沿做轴对称变换得到的，∴△≌△.有，．………………3分 ，，∴，．……5分取中点P，连接，则△为等边三角形，△为等腰三角形，…8分有．∴，即．……10分（2）如图，过点分别作的垂线，垂足分别为． ，即点在的平分线上，∴．……13分 ，，ABCDCPBDCFGACxyO11∴，即点在的平分线上，∴．……16分于是，，则点在的平分线上．…………………………18分又 ,有．∴．∴．………………………20分解：（1）据题意设抛物线的表达式为，则，解得，∴抛物线的表达式为∴对称轴为直线据题意设直线BC的解析式为，则，∴直线BC的解析式为，∴P（1，-1）（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m个单位得抛物线②，则抛物线②的表达式为 抛物线②过点P，∴，∴∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②（3） 抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，∴抛物线②的表达式是即，∴D（2,-2），E（0,2） P(1,-1)，∴直线DP过点O，且与x轴夹角为45°，过点E作EH⊥DP于点H，∴∠EOH=45° E（0,2）,∴EH=，而ED=∴sin∠EDP=O11PDExyH备用：某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有次显示正确的时刻.221、设a为质数，并且278a和287a也都是质数，若记778,887xaya，则在以下情况中，必定成立的是（）．A、,xy都是质数；B、,xy都是合数；C、,xy一个是质数，一个是合数；D、对不同的a，以上各情况皆可能出现．答案：A．解：当3a时，27871a与28779a皆为质数，而778239xa，887271ya都是质数；当质数a异于3时，则2a被3除余1，设231an，于是2782115an，2872415an，它们都不是质数，与条件矛盾！绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自1,2,3,4,5,6,7,8,9之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S表示圆周上所有十二个数的和，那么数S所有可能的取值情况有种．答案：9种．解：对于圆周上相邻的三个数12,,kkkaaa，12kkkaaa可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，12,,kkkaaa可以取1,2,4或1,1,5或2,2,3；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为123,,,kkkkaaaa，由于12kkkaaa和123kkkaaa都是7的倍数，那么必有37kkaa，于是ka与3ka或者相等，或者相差7；又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到28,35,42,49,56,63,70,77,84中的任一个值，总共九种情况．（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．变式：求的概率是多少？众所周知，菠萝味道鲜美，很受大家喜爱.某超市为方便顾客，把菠萝去皮后出售，但由于定价不合理而...
