学习必备欢迎下载三角形的五个“心”一、重心：（又叫中心）1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。2.重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；证明：找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC（同底同高），得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离h相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底OD，等高h），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。证明：方法一△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。∴DF//BC，DF=BC/2①（中位线定理）。∴△ADF∽△ABC,E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH／AE=DH／BE=HF／EC,BE=EC,∴DH=HF)∴HF=DF／2,BE=BC／2，又可由①知HF=BE／2∴HF//BE.又 ∠BGE=∠FGH。∴△BGE∽△FGH∴BG/GF=BE/HF=2。∴BG=（2/3）BF方法二：（简单）如图：△ABC的中线AD、BE交于G（G为重心），求证：AG=2GD证明：取C0的中点H，取BO中点G，连接GH则GH=1/2BC且GH//BC[中位线定理]又E是AB的中点，D是AC中点则ED=1/2BC且ED//BC[中位线定理]则GH=ED且GH//ED则角EDO=角OGH又角DOE=GOH且ED=HG所以△DEO全等于△GHO所以DO=GO--->DO=GO=BG--->BO:OD=2∶1--->AG=2GD二、内心：1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。（即内切圆圆心）诠释：（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。（2）一个三角形有且只有一个内切圆。2．内心定理：（1）三角形三个内角的平分线必交一点；（2）内心到三条边的距离都相等；证明：设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。（3）内切圆的半径公式：r=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]/s=S三角形ABC/s，s为三角形周长一半[s=1/2*（a+b+c）]。证明：设S=1/2*(a+b+c)，内切圆半径为r,a、b、C分别角A、B、C的对边。连结AO、BO、CO形成了三个三角形，S三角形ABC=S三角形ABO+S三角形BCO+S三角形ACO=1/2*（a+b+c）*r=s*r据海伦公式：S三角形ABC=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]所以r=S三角形ABC/sAHFDGCBEAEFOCBD学习必备欢迎下载三、垂心：1．定义：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。证明：连接DE ∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁，∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE（同弧上的圆周角相等） ∠EAO=∠DAC∠AEO=∠ADC＝Rt∠∴△AEO∽△ADC∴AE/AO=AD/AC∴ΔEAD∽ΔOAC∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又 ∠ABE+∠BAC=90°∴∠ACF+∠BAC=90°∴CF⊥AB。这说明了，经过O点的CF就是AB边的高。∴三角形的三条边的垂线交于一点.四、外心：1．定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。2．外心定理：（1）三角形三垂直平分线必交于一点（2）三角形的垂心到三角形各顶点的距离相等。（3）三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.证明：如图，O为外心，P为垂心。延长AO交圆儿于F，延长AP交圆于Q。AF为直径AO为半径，2OE=BF。由于OE与CP都垂直于AB，（且角C为AB弧度圆周角，角AOE为AB弧度圆心角的一半，相等）△AEO相似于△ACR（垂足忘标了），角BAF等于角CAQ.在圆周上，BF=CQ。由于AF为直径，角B+角BCQ=90°，由于CP为垂足，角B+角2也等于90°。（角1标错了）叫BCQ=角2。CB为QP的垂直平分线，CP=CQ。所以CP=BF，CP=2OE。结论达成。五、旁心：1．旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。一个三角形有三个旁心。2．旁心定理：（1）三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线必定交于一...
