灿若寒星制作灿若寒星制作CABFDE角平分线的功能角平分线的功能如下:1.平行截等腰;2.延长构全等;3.翻折构全等;4.垂直构全等.下面举例说明角平分线的功能的应用,以起抛砖引玉,画龙点睛.例1.如图1,点F是△ABC的∠CAB和∠CBA的平分线的交点,过点F作FD∥CA,FE∥CB,它们分别交AB于点D、E,若AB=6cm,求△FDE的周长.分析:容易证明DF=DA,EF=EB.于是可以求出△FDE的周长等于AB.解:∵AF是∠CAB的平分线,BF是∠CBA的平分线,∴∠CAF=∠FAB,∠CBF=∠ABF.图1∵FD∥CA,FE∥CB,∴∠CAF=∠AFD,∠CBF=∠BFE.∴∠AFD=∠FAB,∠BFE=∠ABF.∴AD=FD,BE=FE.∴△FDE的周长=FD+DE+FE=AD+DE+BE=AB=6(cm).点评:如果过一个角平分线上一点作这个角的任意一边的平行线,那么可以截得一个等腰三角形.简称“平行截等腰”.例2.如图2,在△ABC中,AE是∠CAB的平分线,BE⊥AE于点E.求证:∠ABE=∠CBE+∠C.分析:延长BE交AC于点D,则∠AEB=∠AED=90.容易证明ABEADE.于是问题解决.证明:延长BE交AC于点D,则∠AEB=∠AED=90.∵AE=AE,∠BAE=∠DAE,∴ABEADE.∴∠ABE=∠ADE.图2∵∠ADE=∠CBE+∠C,∴∠ABE=∠CBE+∠C.点评:如果一条线段垂直一个角的平分线,那么延长这条垂线段可以构造全等三角形.简称“延长构全等”.例3.如图3,在△ABC中,AD是∠CAB的平分线,∠B=2∠C.求证:AC=AB+BD.分析:在AC上截取AE=AB,连结DE.容易证明ABDAED.于是问题可以解决.证明:在AC上截取AE=AB,连结DE.图3∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,∴ABDAED.∴∠B=∠AED=2∠C,BD=ED.∵∠AED=∠CDE+∠C,∴2∠C=∠CDE+∠C.∴∠CDE=∠C.∴ED=EC.∴BD=EC.∴AC=AE+EC=AB+BD.点评:如果沿一个角的平分线翻折,那么可以构造全等三角形.简称“翻折构全等”,也称“截灿若寒星制作灿若寒星制作长补短”.本题为“截长”，有兴趣的同学也可以试试“补短”.例4.如图4,在△ABC中,BE是∠ABC的平分线,∠A=90,AB=AC.求证:BC=AB+AE.分析:作ED⊥BC于点D,则∠A=∠BDE=90.容易证明ABEDBE.于是问题可以解决.证明:作ED⊥BC于点D,则∠A=∠BDE=90.∵∠ABE=∠DBE,BE=BE,∴ABEDBE∴AB=DB,AE=DE.∵AB=AC,∠A=90,∴∠C=45.图4∴∠CED=45.∴∠CED=∠C.∴DE=DC.∴DC=AE.∴BC=DB+DC=AB+AE.点评:如果过一个角的平分线上一点作这个角的边的垂线,那么可以构造全等三角形.简称“垂直构全等”.小试牛刀:1.如图5,在ABC中,点F是ABCACB与的角平分线的交点,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E,若BD+EC=10,求DE的长.ABCFDE图5图6图72.如图6,在△ABC中,AD是∠CAB的平分线,AC=AB+BD.求证:∠B=2∠C.3.如图7,在ABC中,AB=AC,90BAC,BD是ABC的平分线,BD⊥CE于点E.求证:BD=2CE.小试牛刀参考答案1.解:因为FD∥BC,FE∥BC,所以BFD=CBF,CFE=BCF.因为F是ABCACB与的角平分线的交点,灿若寒星制作灿若寒星制作所以CBF=DBF,ECF=BCF.所以FBD=BFD,CFE=FCE.所以BD=FD,EF=EC.所以DE的长=FD+EF=BD+EC=10.2.证明:如图8,在AC上截取AE=AB,连结DE.∵AD=AD,∠DAB=∠DAE,∴ABDAED.∴∠B=∠AED,BD=ED.∵AC=AB+BD,AC=AE+CE,∴AB+BD=AE+CE.∴BD=CE.∴DE=CE.∴∠CDE=∠C.图83.证明:如图9,延长CE交BA的延长线于点F,则90BECBEF.∵BE=BE,EBCEBF,∴△BCE≌△BFE.∴CE=FE.∴CF=2CE.∵90BAC,∴90FAC.∴90ACFF.∵90BEF,∴90ABDF.∴ACFABD.∵90BADCAF,AB=AC,∴△ACF≌△ABD.∴BD=CF.∴BD=2CE.图9初中数学试卷灿若寒星制作
