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公因数和公倍数【知识点回顾】1、公因数(1)互素数:公因数只有1的两个自然数叫做互素数。(2)简分数:分子、分母是互素数的分数叫做简分数。(3)求最大公因数的方法:分解素因数法和短除法。2、公倍数求最小公倍数的方法:分解素因数和短除法,即用最大公因数×各自独有的因数。3、求两个数的最大公因数和最小公倍数,有3种基本情况,区别如下:两个数的关系最大公因素最小公倍数特殊关系互素(7和8)1两个数的积(7×8=56)较大数是较小数的倍数(12和48)较小数(12)较大数(48)一般关系(12和18)用短除法将除数连乘(2×3=6)将除数和商连乘(2×3×2×3=36)4、求最大公因数和最小公倍数的方法:一、特殊情况:(1)倍数关系的两个数,最大公因数是较小的数,最小公倍数是较大的数。(如;6和12的最大公因数是6,最小公倍数是12。)(2)互质关系的两个数,最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。(如,5和7的最大公因数时1,最小公倍数是5×7=35)二、一般情况:(1)求最大公因数:列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。①列举法:如,求18和27的最大公因数先找出两个数的所有因数18的因数有:1、2、3、6、9、1827的因数有:1、3、9、27再找出两个数的公因数:18的因数有:1、2、3、6、9、1827的因数有:1、3、9、271、3、9最后找出最大公因数:9②单列举法:如,求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数:18的因数有:1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数:1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数:9③短除法:3182736923除到商是互质数为止,最后把所有的除数相乘3×3=9④除法算式法:用这两个数同时除以公因数,除到最大公因数为止。18÷9就是18和27的最大公因数27(2)求最小公倍数:列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。①列举法:如,求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数:18的倍数:18、36、54、7212的倍数:12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数:18的倍数:18、36、54、7212的倍数:12、24、36、48②单列举法:如,求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数:18的倍数有:18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数,找出最小公倍数:36③大数翻倍法:如,求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍(2倍开始),每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数,直到找到最小公倍数为止。如,求18和12的最小公倍数。可以把18翻倍:18×2=36,36又是12的倍数,所以36是18和12的最小公倍数。④短除法:用这两个数同时除以一个质数(要能整除)如,求18和12的最小公倍数,先用18和12同时除以质数2,再同时除以质数3,除到两个商是互质数(公因数只有1)为止。21812332除数商139除到商是互质数为止,最后把所有的除数和商相乘18和12的最小公倍数是:2×3×3×2=3696【例题精讲】问题1、(1)既是30的因数,又是45的因数的数共有几个?其中最大的数是多少?(2)既是30的倍数,又是45的倍数的数,最小是多少?想:(1)既是30的因数,又是45的因数的数,就是30和45的公因数,其中最大的就是30和45的最大公因数;(2)既是30的倍数,又是45的倍数的数就是30和45的公倍数,其中最小的数就是30和45的最小公倍数。解:(1)30和45的公因数有:1,3,5,15共四个,其中最大的是15;(2)30和45的公倍数有:90,180,270等等,其中最小是90。随堂练习1、既是30的倍数,又是45的倍数,还是75的倍数的数,最小是多少?问题2、三个连续自然数的最小公倍数是168,那这三个连续自然数的和是多少?解析:要求三个连续自然数的和,就要把这三个自然数求出来,而这三个连续自然数的最小公倍数是168,可先把168分解质因数168=2×2×2×3×7,根据168的质因数的情况可以肯定其中一个是7,(为什么不可能是14)因此这三个连续自然数只有6、7、8和7、8、9两种可能,而7、8、9这三个数任两个数公因数都是1,故这三个连续自然数只能是6、7和8。(经检验正确)它们的和是6+7+8=21。答:这三个连续自然数是6、7、8。它们的和是21。随堂练习1、三个连续自然数的最小公倍数是660,那...

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