1/6两点间距离公式的教学设计教学目标1、掌握两点间的距离公式，熟练地运用距离公式来解决实际问题；2、培养学生的数学阅读能力、阅读方法；3、渗透用代数的方法解决几何问题的思想.教学内容重点：两点间距离公式及其应用.难点：对课本例题的深层次的思考和知识的迁移.教学过程一、复习提问师：上节课我们学习了有向线段的概念，我们先来复习一下.提问1：请回答ABABAB、、有什么不同？生:AB表示以A为起点,B为终点的有向线段，是一个几何图形;AB是有向线段AB的长度；AB表示有向线段AB的数量，AB与AB都是一个实数.师：提问2：设AB在x轴上或与x轴平行时，有向线段AB的数量、长度公式如何用BA,点在x轴上的坐标21,xx表示呢？生：2121,xxABxxAB.师：提问3：沙尔公式的内容是什么？生：设轴上点nAAAA,,,,321的坐标分别nxxxx,,,,321为那么有nnnAAAAAAAA113221，或0113221AAAAAAAAnnn.二、新课导入师：如果AB与y轴平行或在y轴上，有向线段AB的数量与长度如何求？2/6生：设BA,两点的纵坐标为21,yy，则2121,yyAByyAB师：那么，当有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长，即两端点间的距离呢？我们可以通过作有向线段在x轴，y轴上的投影（射影），利用勾股定理即可求出线段的长，即两端点间的距离.如图1，设),(),,(222111yxPyxP两点.从21,PP分别向x轴和y轴作垂线22221111,,,NPMPNPMP，相交于点Q.在QPPRt21中2221221QPQPPP因为12211xxMMQP所以121xxQP同样21122yyNNQP所以212yyQP所以221212221212221)()(yyxxyyxxPP于是，我们得到平面上两点间的距离公式：22121221)()(yyxxPP下面我们来看看这个公式的应用.例1求下列BA,两点间的距离：（1）)1,5(),1,2(BA；（2）)0,(),2,(22acBabcabA.解（1）1349)11()25(22AB（2）)()(4)()20()(22222122222222222bcabcacbabcaabcabacAB例2ABC中，AO是BC边上的中线，求证:)(22222OCAOACAB.3/6解建立平面直角坐标系，如图2，设点CBAO,,,的坐标分别为)0,(),0,(),,(),00(aCaBcbAO，，利用平面上两点间距离公式有222222222222)()(cbaabccabACAB又有22222cbaOCAO，从而)(22222OCAOACAB.师：看过上述例题后，你知道了一些什么？启发1：若不按例2的方法建立平面直角坐标系，能否证明上述结论？例如，方法1：见图3，设)0,2(),0,0(),,(),0(aCBcbAaO，，证明从略.方法2：见图4，设),(),,(),(332211yxCyxByxA，，因为D是BC的中点，所以)2,2(3232yyxxD.由此可见，解答例2，建立坐标系的方法是最简单的.启发2：通过本题，我们体会到解析几何的一种基本思想方法就是建立坐标系，将几何问题通过代数计算的方法加以解决.试想，此题若不通过建立坐标系，而是用纯平面几何的办法来解决，将怎样添辅助线？启发3：如果本题不是书上的例题，而是一道考试题，谁能用学过的办法比较简单地将其解决呢？师：我们可以通过学过的余弦定理来解.4/6设nOCmAOAOC,,则)1(cos2)cos(222222mnnmmnnmAB)2(cos2222mnnmAC得)2()1()(2)(2222222OCAOnmACAB这就是说，我们要善于利用已知将为之转化为已知，不断地培养自己分析问题，解决问题的能力.启发4：读了本例题后，你们知道本例题的几何意义是什么吗？我们可以这样想：将ABC沿边作一个对称变换（中心对称），得到BCA’，则由本题解决)(22222OCAOACAB，可知平行四边形四边长的平方和等于对角线的平方和.三、课堂练习设点P为矩形ABCD所在平面上任意一点，求证：2222PDPBPCPA.方法1：建立如图7所示坐标系，设),(),,(),,0(),0(yxPbaDbAaC，.byaxbayxyaxbyxPCPA2222)()(2222222222因为byaxbayxbyaxyxPDPB2222)()(2222222222所以2222PDPBPCPA.方法2：以矩形ABCD的对称中心O为原点，建立如图8所示的5/6坐标系，设),(baD，则),(),,(),,(),,(yxPbaCbaBbaA.22222222222222)()()()(bayxbyaxbyaxPCPA因为22222222222222)()()()9bayxbyaxbyaxPDPB请同学们比较，用哪一种方法建立坐标系其计算量要小些.四、课堂小结1、两点间距离及应用；2、解析法的主要思想方法；3、建立执教坐标系的一般原则.五、补充作业在x轴上求一点P，使P点到)5,4(),3,0(BA距离的平方和最小.解设)0,(xP为所求的地啊，则由平面上两点间距离公式得4242)2(2850)44(25082)50()4(...
