函数图象创新题例析 专题辅导 不分版本 试题VIP免费

函数图象创新题例析李昭平“函数”是贯穿于高中数学的一条主线，函数图象又是表述函数问题的重要工具，因此函数图象问题与其它知识的联系非常紧密。尤其是导数和向量的引入，拓宽了函数图象问题的命题空间，出现了不少的创新题，下面介绍几例。例1.已知函数，其中，，当时的大致图象是（）图1解析：由于的图象问题已超出了高中大纲的范围，因此想通过画出图象来确定答案，将是十分困难的。作反面思考，从选择支出发：选择支（A）、（D）的图象均关于坐标原点对称，选择支（B）的图象关于y轴对称，而函数既非奇函数又非偶函数，因此排除（A）、（B）、（D）。答案（C）正确。点评：本题以平面向量为载体，考查非常规型函数的图象，灵活运用函数的相关性质排除错误是解题的关键。例2.设函数在定义域内可导，的图象如图2所示，则导函数的图象可能为（）图2图3解析：观察图2，发现时，单调递增，因此时，，立即排除（B）、（C）。再从图2中发现，且x靠近0时，单调递增，此时，立即排除（A）。答案（D）正确。点评：本题是函数图象与其导函数图象的交汇，主要考查两者图象之间的关系。利用函数的单调性确定导函数的符号是解题的关键。例3.如图4所示，函数的图象上有一列点P1，P2，P3，…，Pn，…，已知时，。设线段的长分别为，且，则（）图4A.B.C.D.解析：由得所以即所以将这个等式相乘，得答案（B）正确。点评：本题在函数的图象上构建向量，融函数图象、平面向量、数列等知识于一体，利用向量的和差运算寻求递推关系是解题的关键。例4.定义在（0，3）上的函数的图象如图5所示，，，那么不等式的解集是___________。图5解析：因此的解集是点评：本题以平面向量为载体，考查抽象函数与三角函数的复合型不等式的解集，分类讨论、由图定数是解题的关键。例5.已知某质点在运动过程中，热量Q随位移x变化的规律是，其图象关于坐标原点对称，如图6所示是其图象的一部分，则Q（x）的解析式是___________。图6解析：因为Q（x）的图象关于坐标原点对称所以，即所以因此由图象可知，当时，有极小值，所以解得故点评：本题以物理知识为背景，融函数的导数、极值、奇偶性于一体，从函数图象上发现其性质是解题的关键。以上几个函数图象问题，虽然难度不大，但具有背景新、内容新、结构新的特点，具有一定的创新性。这类问题在高考中常常以选择题、填空题的形式出现，能有效考查学生的观察能力、直觉思维能力、合情推理能力和综合能力。排除法、特殊值法、数形结合法常常是解决这类问题的有效途径。