高二数学直线的方向向量与直线的向量方程人教实验版（B）【本讲教育信息】一.教学内容：3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程3.2.2平面的法向量与平面的向量表示二.教学目的：1、掌握用向量表示直线的方法及确定点在直线上的位置的方法；会用向量的方法证明线线平行、线面平行、面面平行；能通过向量计算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。2、（1）理解平面的法向量的概念，并会求平面的法向量；（2）了解平面法向量的应用，并能用法向量论证相关的立体几何问题；（3）掌握正射影的概念，并能作出简单图形F在某一平面内的正射影F0，并说出其图形的形状；（4）掌握三垂线定理及其逆定理，并能应用此定理解题。三.教学重点、难点重点：（1）直线的方向向量，平行关系的论证，用向量运算求证两条直线垂直或求两条直线所成的角。（2）平面法向量的概念及其应用，正射影的概念，三垂线定理及逆定理；难点：（1）直线的方向向量，平面α的共面向量的选取及其表示。（2）对平面法向量的理解及灵活运用，三垂线定理的证明思路及三垂线定理的应用。四.知识分析3．2．1直线的方向向量与直线的向量方程1、思考：如何确定空间中的点的位置？分析：确定平面内点的位置，通常采用两个方法――“平面直角坐标系”或“该点相对于某一已知点的方向及距离”。那么，空间内呢？我们也可以用“该点的空间直角坐标系（x，y，z）”或“在空间中该点相对于某一已知点的方向及距离”来描述。注意：两个词――－“方向”、“距离”，给我们什么启示？结论：在空间我们可以用向量确定空间一点的位置或点的集合。【位置向量】已知向量，在空间固定一个基点O，再作向量，则点A在空间的位置就被向量所惟一确定了。这时，我们称这个向量为位置向量。注：“基点”是必需的；相对于确定的基点来说，空间内的点与向量有了一一对应关系。2、思考：如何确定空间中的直线？分析：在平面内确定直线通常采用的是“点向”和“两点”，那么空间中呢？探究：通过实际观察，在空间中我们仍旧可以采用“点向”或“两点”来确定直线。问题是如何操作呢？方案：求轨迹的一般步骤（1）点向：过点A，且平行于向量设P为直线上任一点，则有，故存在，使①，这样直线上每一个点P用心爱心专心115号编辑都与惟一的一个实数t相对应，向量方程就是过A且方向向量为的直线的参数方程，每一个确定的t都对应着一个点Pl。这个方程也可以表示成（直线的点向式参数方程）这个方程的几何意义如图1所示。（2）两点：过点A和点B（可以看成过点A，方向向量为）这样，我们可得方程（两点式）这个方程的几何意义如图2所示。探究：观察到方程中的系数满足1－t＋t＝1,这与点A,P,B三点共线有关系吗？（1）若令t＝0或1，则点P在直线AB的什么位置？（2）若令t＝或2，则点P在直线AB的什么位置？（t＝时得出线段AB中点的向量表达式）（3）若令t＝或3，则点P在直线AB的什么位置？（4）若令t＝－1，则点P在直线AB的什么位置？【应用基础】1、怎样用向量的方法证明线线平行？分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则由向量共线的条件得：（或l1与l2重合）2、怎样用向量的方法证明线线垂直？分析：设直线l1的方向向量为，直线l2的方向向量为，则有（3、怎样用向量的方法求两直线的夹角？分析：考虑到两向量夹角与两直线夹角定义的区别,有4、怎样用向量的方法证明线面平行？分析：已知两个不共线向量，与平面α共面，一条直线l方向向量为，则由共面向量定理，可得：l//α或l在α内存在两个实数x，y，使另外，如果A，B，C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分必要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式成立。用心爱心专心115号编辑3．2．2平面的法向量与平面的向量表示1、平面法向量的定义：已知平面α，如果向量的基线与平面α垂直，则就叫做平面α的一个法向量或说向量与平面α正交。2、平面法向量的性质：①平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量；②一个平面的所有法向量共线（或平行）3、怎样求平面的法向量？①首先我们利用向量的方法证明线面垂直判定定理，证明中一定要注意共面向量定理的应用。【线面垂直判定定理】如果一条直线...
