初二数学相似三角形知识精讲精练人教义务几何【学习目标】1．知道相似形的定义及相似比的概念，能找出相似三角形的对应边和对应角．2．能说出“平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”．【主体知识归纳】1．相似三角形:对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似三角形的本质特征是“形状相同”但大小不一定相等．2．相似比:相似三角形对应边的比是k，叫做相似比（或相似系数）．3．若△ABC与△A′B′C′的相似比是k1，△A′B′C′与△ABC的相似比为k2，则k1＝．4．相似三角形的判定定理:平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．5．相似三角形的传递性:由△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2可得△ABC∽△A2B2C2．【基础知识精讲】相似三角形判定的预备定理，可用来证明两个三角形相似，但是当图中有“平行线”而又需证明比例线段时，一般不用这个定理先判定两个三角形相似，而直接用“三角形一边的平行线”的性质定理．【例题精讲】［例1］如图5－25，已知菱形ABCD的边长为3，延长AB到点E，使BE＝2AB，连结EC并延长交AD的延长线于F，求AF的长．图5－25剖析：考虑菱形的性质,得出平行线，从而得出相似三角形．用相似比即可求出AF的．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，BC∥AD．∴BE＝2AB＝6，△BCE∽△AFE．∴．∴AF＝BC＝4.5．［例2］如图5－26，△ABC中，D、E分别是AB、BC边上的点，连结DE并延长交AC的延长线于F，若BD∶DE＝AB∶AC．求证：△CEF是等腰三角形．图5－26剖析：由已知AB∶AC＝BD∶DE并结合图形容易看出，若过点D作DG∥AF，交BC于G，则AB∶AC＝BD∶DG，所以DG＝DE，从而可证CF＝EF．证明：过点D作DG∥AF交BC于G，则,∵，∴DE＝DG∵DG∥CF，∴△CFE∽△GDE．∴＝．∴CF＝EF．∴△CEF是等腰三角形．【同步达纲练习】1．填空题（1）如图5－27所示，已知△ABC∽△AED，∠ADE＝∠C．则相似三角形的对应边的比例式是_____．图5—27（2）如图5－28所示，△ABC中，DE∥BC，DC和BE交于O，则图中相似三角形有________________________________．图5—28（3）DE为△ABC的中位线，则△ADE∽_____，它们的相似比是_____．（4）△ABC∽△A1B1C1，其相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2．其相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比是_____．（5）已知D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、AC的中点，则与△ABC相似的三角形有_____个，它们是______________________．（6）△ABC的三边分别是6cm，8cm，10cm，与其相似的△A′B′C′的最大边的长是30cm，则△ABC的面积是_____．2．如图5－29，已知：D，E分别在△ABC的边BC，AC上，AD、BE交于点G，点F在AD上，且△EFG∽△BDG．求证：△AEF∽△ACD．图5－293．如图5－30，矩形ABCD中，AD＝3AB，E、F三等分BC，G、H三等分AD．求证：△BGH∽△DGB．图5－304．已知，如图5－31，在矩形ABCD中，E是BC上一点，F是BC的延长线上一点，且BE＝CF，BD与AE相交于G．求证：（1）△ABE≌△DCE；（2）CF·AE＝BF·GE．图5－315．请阅读下列材料，并回答所得出的问题．已知：如图5－32，BE、CF分别是△ABC的中线，且相交于G．求证：＝2．图5－32证明过程如下．证明：连结EF．∵E、F分别是AC、AB的中点．∴EF∥BC，BC＝2EF．∴△BGC∽△EGF．∴＝2．由此可知：三角形的三条中线相交于一点，并且这点与顶点的距离等于它与对边中点距离的2倍，这点叫三角形的重心，这一结论叫做三角形的重心定理．（1）上述证明过程中用到了哪些定理（只写两个）？（2）利用三角形重心定理解答问题：已知，如图5－33，在△ABC中，AD为BC边上的中线，BE是AC边上的中线且AD、BE交于G．求S△BDG∶S△ABC．图5－33参考答案【同步达纲练习】1．（1）（2）△ADE∽△ABC及△DEO∽△CBO（3）△ABC（4）（5）4△ADF,△BDE,△CFE,△EFD（6）216cm22．略3．设AD＝3a，则AB＝a，BG＝a，GH＝a，GD＝2a，可证出△BGH与△DGB的三边成比例，再证角相等由相似形的定义即可得出结论．4．（1）略（2）△BEG∽△BFD5．（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．等等（2）1∶6．
