单元测评(三)空间向量与立体几何(时间：90分钟满分：120分2014.4)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)A．1组B．2组C．3组D．4组解析： ②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP＝2OA－2OB－OC，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A.PC与BDB.DA与PBC.PD与ABD.PA与CD1解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．则PC＝(b，a，－c)，BD＝(－b，a,0)，DA＝(0，－a，0)，PB＝(b,0，－c)，PD＝(0，a，－c)，AB＝(b,0,0)，PA＝(0,0，－c)，CD＝(－b,0,0)．∴PC·BD＝－b2＋a2不一定为0.DA·PB＝0，PD·AB＝0，PA·CD＝0.答案：A4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·等于()A．15B．3C．－3D．5解析：(6a)·＝3a·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.答案：B5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为()A．1B．2C.D.解析：|CD|2＝|CA＋AB＋BD|2＝|CA|2＋|AB|2＋|BD|2＋2CA·AB＋2AB·BD＋2CA·BD＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD|＝.答案：C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的2坐标为()A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)C.D.解析：由OA＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH·OA＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝，∴H.答案：C7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：A8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E，F，D1(0,0,1)，l所以AD1＝(－1,0,1)，AE＝.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则⇒∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)， cos〈n，u〉＝，∴sin〈n，u〉＝.答案：C9．在三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角APBC的平面角的正切值为()A.B.C.D.3解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,2,0)，C(，1,0)，P(0,0,2)，∴BP＝(0，－2,2)，BC＝(，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．则即令y＝1，则x＝，z＝1.即n＝.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．则cos〈m，n〉＝＝＝.∴正切值tan〈m，n〉＝.答案：A10．已知OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为()A.B.C.D.解析： Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则QA＝(1－x,2－x,3－2x)，QB＝(2－x,1－x,2－2x)．∴QA·QB＝6x2－16x＋10，∴x＝时，QA·QB最小，这时Q.答案...
