（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题10计数原理、概率与统计第76练离散型随机变量的均值与方程练习理训练目标熟练掌握随机变量的均值与方差的求法．训练题型(1)求随机变量的均值；(2)求随机变量的方差；(3)统计知识与均值、方差的综合应用．解题策略(1)熟练掌握均值、方差的计算公式及其性质；(2)此类问题的关键是分析概率模型，正确求出概率.1．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．(1)求ξ的概率分布，均值和方差；(2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，V(η)＝11，试求a，b的值．2．(2016·威海模拟)三人参加某娱乐闯关节目，假设甲闯关成功的概率是，乙、丙两人同时闯关成功的概率是，甲、丙两人同时闯关失败的概率是，且三人各自能否闯关成功相互独立．(1)求乙、丙两人各自闯关成功的概率；(2)设ξ表示三人中最终闯关成功的人数，求ξ的概率分布和均值．3．甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的概率分布和均值．4．(2016·徐州模拟)某市公安局为加强安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A、B两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1、A2、A3，B队队员是B1、B2、B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.对阵队员A队队员胜A队队员负A1对B1A2对B2A3对B3(1)求A队最后所得总分为1的概率；(2)求ξ的概率分布，并用统计学的知识说明哪个队实力较强．1答案精析1．解(1)ξ的概率分布为ξ01234P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝，V(ξ)＝(0－)2×＋(1－)2×＋(2－)2×＋(3－)2×＋(4－)2×＝.(2)由题意可知V(η)＝a2V(ξ)＝a2×＝11，∴a＝±2.又E(η)＝aE(ξ)＋b，∴当a＝2时，1＝2×＋b，得b＝－2；当a＝－2时，1＝－2×＋b，得b＝4.∴或22．解(1)记甲、乙、丙各自闯关成功的事件分别为A1、A2、A3，由已知A1、A2、A3相互独立，且满足解得P(A2)＝，P(A3)＝.所以乙、丙各自闯关成功的概率分别为、.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝＝××＝＝，P(ξ＝1)＝＋＋＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝3)＝××＝＝.所以随机变量ξ的概率分布为ξ0123P所以随机变量ξ的均值E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝.3．解(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，A2表示事件“第3局结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．则A＝A1·A2.则P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”，则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)P(A3)＝，P(X＝2)＝P(1·B3)＝，则P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝.∴X的概率分布为X012P3∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.4．解(1)记“A队最后所得总分为1”为事件A0，∴P(A0)＝××＋××＋××＝.(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P(ξ＝3)＝××＝＝，P(ξ＝2)＝××＋××＋××＝＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝0)＝××＝＝，∴ξ的概率分布为ξ0123PE(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.∵ξ＋η＝3，∴E(η)＝－E(ξ)＋3＝.由于E(η)＞E(ξ)，故B队的实力较强．4
