1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系课后篇巩固提升基础达标练1.已知a=(1,-2,1),a+b=(-1,2,-1),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案B2.向量a=(1,2,x),b=(2,y,-1),若|a|=√5,且a⊥b,则x+y的值为()A.-2B.2C.-1D.1解析由题意得{√12+22+x2=√5,2+2y-x=0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.答案C3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√5D.±√10解析⃗CB=(-6,1,2k),⃗CA=(-3,2,-k),则⃗CB·⃗CA=(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.答案D4.已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且(a+2b)∥(2a-b),则()A.x=12,y=-4B.x=12,y=4C.x=2,y=-14D.x=1,y=-1解析 a+2b=(1+2x,4,4-y),2a-b=(2-x,3,-2y-2),且(a+2b)∥(2a-b),∴3(1+2x)=4(2-x),且3(4-y)=4(-2y-2),解得x=12,y=-4.答案A5.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形解析⃗AB=(3,4,2),⃗AC=(5,1,3),⃗BC=(2,-3,1).由⃗AB·⃗AC>0,得A为锐角;由⃗CA·⃗CB>0,得C为锐角;由⃗BA·⃗BC>0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.答案A6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=√14,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析a+b=(-1,-2,-3)=-a,故(a+b)·c=-a·c=7,得a·c=-7,而|a|=√12+22+32=√14,所以cos
=a·c|a||c|=-12,又因为∈[0,π],所以=2π3.答案C7.已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,则x+y的值为.解析由题意知a∥b,所以x1=x2+y-22=y3,即{y=3x,①x2+y-2=2x,②把①代入②得x2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0,解得x=-2或x=1.当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x=-2,y=-6时,b=(-2,-4,-6)=-2a,向量a,b反向,不符合题意,故舍去.当{x=1,y=3时,b=(1,2,3)=a,a与b同向,符合题意,此时x+y=4.答案48.已知向量a=(5,3,1),b=-2,t,-25,若a与b的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.解析由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a与b的夹角为钝角,所以a·b<0,即3t-525<0,所以t<5215.若a与b的夹角为180°,则存在λ<0,使a=λb(λ<0),即(5,3,1)=λ-2,t,-25,所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t=-65,故t的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.答案-∞,-65∪-65,52159.已知O为坐标原点,⃗OA=(1,2,3),⃗OB=(2,1,2),⃗OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当⃗QA·⃗QB取得最小值时,求Q的坐标.解设⃗OQ=λ⃗OP,则⃗QA=⃗OA−⃗OQ=⃗OA-λ⃗OP=(1-λ,2-λ,3-2λ),⃗QB=⃗OB−⃗OQ=⃗OB-λ⃗OP=(2-λ,1-λ,2-2λ),所以⃗QA·⃗QB=(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,⃗QA·⃗QB取得最小值,此时点Q的坐标为43,43,83.10.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长AB=2,AB1⊥BC1,点O,O1分别是棱AC,A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系.(1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M为BC1的中点,试用向量⃗AA1,⃗AB,⃗AC表示向量⃗AM;(3)求cos<⃗AB1,⃗BC>解(1)设该三棱柱的侧棱长为h,由题意得A(0,-1,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),B1(√3,0,h),C1(0,1,h),则⃗AB1=(√3,1,h),⃗BC1=(-√3,1,h),因为AB1⊥BC1,所以⃗AB1·⃗BC1=-3+1+h2=0,所以h=√2.(2)⃗AM=⃗AB+⃗BM=⃗AB+12⃗BC1=⃗AB+12¿)=⃗AB+12¿)=12⃗AB+12⃗AC+12⃗AA1.(3)由(1)可知⃗AB1=(√3,1,√2),⃗BC=(-√3,1,0),所以⃗AB1·⃗BC=-3+1=-2,|⃗AB1|=√6,|⃗BC|=2,所以cos<⃗AB1,⃗BC>=-22√6=-√66.能力提升练1.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点,若⃗AB=(-2,1,4),⃗AP=(1,-2,1),⃗AC=(4,2,0),则()A.AP⊥ABB.AP⊥BPC.BC=√53D.AP∥BC解析⃗AP·⃗AB=-2-2+4=0,∴⃗AP⊥⃗AB,即AP⊥AB,故A正确;⃗BP=⃗BA+⃗AP=(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),⃗BP·⃗AP=3+6-3=6≠0,∴AP与BP不垂直,故B不正确;⃗BC=⃗AC−⃗AB=(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|⃗BC|=√62+12+(-4)2=√53,故C正确;假设⃗AP=k⃗BC,则{1=6k,-2=k,1=-4k,无解,因此假设不成立,即AP与BC不平行,故D不正确.答案AC2.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),若⃗OA+λ⃗OB与⃗OB(O为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为()A.√66B.-√66C.±√66D.±√6解析 ⃗OB=(0,-1,1),⃗OA+λ⃗OB=(1,-λ,...
