高中数学2.1从平面向量到空间向量同步精练北师大版选修2-11．“两个向量(非零向量)的模相等”是“两个向量相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，必有＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确的个数为()A．4B．3C．2D．13．在四边形ABCD中，若＝，且||＝||，则四边形ABCD为()A．菱形B．矩形C．正方形D．不确定4．把空间所有单位向量归结到一个共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是()A．一个圆B．两个孤立的点C．一个球面D．一个平面5．下面几个命题：①向量的模是一个正实数；②所有的单位向量相等；③所有的零向量相等；④一条直线的方向向量是相等的．其中错误的命题个数为()A．4B．3C．2D．16．下列说法中不正确的是()A．平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α共面，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，则〈，〉＝______.8.在如图所示的直三棱柱中，(1)指出直线AC的方向向量；1(2)指出平面ABC的法向量．9．如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，求：(1)〈，〉，〈，〉，〈，〉；(2)〈，〉，〈，〉．2参考答案1.解析：模相等方向不相同的两个向量不相等，两个相等向量的模一定相等．答案：B2.解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定有起点相同，终点也相同，故①错误；根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a与b的方向不一定相同，故②错误；根据正方体的性质，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以＝，故③正确；命题④显然正确．答案：C3.解析：若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又||＝||，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．答案：B4.解析：半径为1的球面上所有点到球心的距离为1.答案：C5.解析：0的模为0，故①错；所有单位向量的模相等，但方向不一定相同，故②错，③对；一条直线的方向向量不唯一，故④错．答案：B6.解析：A，B，C正确，而D中，若a∥b，虽然n⊥a，n⊥b，但n不一定是平面的法向量．答案：D7.解析：连接DB，BC1，DC1，∵正方体ABCDA1B1C1D1，∴△BDC1为等边三角形．∵E，F，G，H分别是AB，AD，BC，CC1的中点，∴EF∥BD，GH∥BC1.∴〈，〉＝〈，〉＝.答案：8.解：(1)直线AC的方向向量为：，，，；(2)平面ABC的法向量为：，，，，，.9.解：(1)∵正方体ABCDA′B′C′D′，∴AB∥A′B′，AD⊥D′C′，AB∥C′D′.3∴〈，〉＝0，〈，〉＝，〈，〉＝π.(2)∵正方体ABCDA′B′C′D′，∴AD∥BC.∴〈，〉＝〈，〉＝，连接AC.∴△ACD′为等边三角形．∴〈，〉＝.备选习题1.答案：B2.解析：正方体中与BC′垂直的线段有B′C，A′D，AB，DC，A′B′，D′C′，所以与向量BC′垂直的向量有，，，，，，，，，，，，共12个．答案：123.解：(1)∵＝，∴〈，〉＝〈，〉．∵∠CAB＝，∴〈，〉＝.(2)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.(3)〈，〉＝〈，〉＝.4
