3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义[课时作业][A组基础巩固]1．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数为()A．1－2iB．－1＋2iC．3＋4iD．－3－4i解析：向量AB对应的复数是2＋i，则BA对应的复数为－2－i， CA＝CB＋BA，∴CA对应的复数为(－1－3i)＋(－2－i)＝－3－4i.答案：D2．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，故z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限．答案：D3．设复数z1＝cosθ＋i，z2＝sinθ－i，则|z1－z2|的最大值为()A．5B.C．6D.解析：z1－z2＝(cosθ－sinθ)＋2i，所以|z1－z2|＝＝，因此当sin2θ＝－1时，|z1－z2|取最大值，故选D.答案：D4．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应点的轨迹是()A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：设z＝x＋yi，x，y∈R，由|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|得＝，化简可得3x－4y＝0，所以复数z在复平面上对应点的轨迹是一条直线．答案：C5．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为()A．0B．1C.D.解析：由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，d＝＝.答案：C6．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为1A，B，C，若OC＝λOA＋μOB，(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．解析：由条件得OC＝(3，－4)，OA＝(－1,2)，OB＝(1，－1)，根据OC＝λOA＋μOB得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴解得∴λ＋μ＝1.答案：17．设实数x，y，θ满足以下关系：x＋yi＝3＋5cosθ＋i(－4＋5sinθ)，则x2＋y2的最大值是________．解析： x＋yi＝(3＋5cosθ)＋i(－4＋5sinθ)，∴x2＋y2＝(3＋5cosθ)2＋(－4＋5sinθ)2＝50＋30cosθ－40sinθ＝50＋50cos(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝.∴(x2＋y2)max＝50＋50＝100.答案：1008．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，则实数a－b为________．解析：因为OA＋OC＝OB，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以得a－b＝－4.答案：－49．计算：(1)(2－i)＋(－2i)；(2)(3＋2i)＋(－2)i；(3)(1＋2i)＋(i＋i2)＋|3＋4i|；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．解析：(1)原式＝(2＋)－(＋2)i＝－i.(2)原式＝3＋(2＋－2)i＝3＋i.(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋＝(1－1＋5)＋(2＋1)i＝5＋3i.(4)原式＝[6＋3－3－(－2)]＋[－3＋2－(－4)－1]i＝8＋2i.10．在复平面内，A，B，C三点对应的复数1,2＋i，－1＋2i.D为BC的中点．(1)求向量AD对应的复数；(2)求△ABC的面积．解析：(1)由条件知在复平面内B(2,1)，C(－1,2)．则D(，)，点D对应的复数是＋i，AD＝OD－OA＝(，)－(1,0)＝(－，)，∴AD对应复数为－＋i.(2)AB＝OB－OA＝(1,1)，|AB|＝，2AC＝OC－OA＝(－2,2)，|AC|＝＝2，BC＝OC－OB＝(－3,1)，|BC|＝，∴|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，∴△ABC为直角三角形．∴S△ABC＝|AB|·|AC|＝××2＝2.[B组能力提升]1．定义运算＝|ad－bc|，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R，x>0)，符合条件＝x的点Z在复平面上所表示的曲线的形状是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解析：由已知可得|z－1|＝x，∴|x－1＋yi|＝x.∴(x－1)2＋y2＝x2.∴y2＝2x－1.答案：C2．复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足条件|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()A．2B．4C．4D．16解析：由|z－4i|＝|z＋2|得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|，∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3，∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4，当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4.答案：C3．复数z1、z2分别对应复平面内的点M1、M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i，则|z1|2＋|z2|2等于()A．10B．25C．100D．200解析：根据复数加减法的几何意义，由|z1＋z2|＝|z1－z2|知，以OM1、OM2为邻边的平行四边形是矩形...
