第一章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算课后篇巩固提升基础达标练1.下列命题中为真命题的是()A.向量⃗AB与⃗BA的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等答案A2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列选项中化简后为零向量的是()A.⃗AB+⃗A1D1+⃗C1A1B.⃗AB−⃗AC+⃗BB1C.⃗AB+⃗AD+⃗AA1D.⃗AC+⃗CB1答案A3.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()A.-6B.6C.3D.-3解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,所以(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6.故选B.答案B4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则⃗AE·⃗AF的值为()A.a2B.12a2C.14a2D.√34a2解析⃗AE·⃗AF=12¿)·12⃗AD=14¿)=14a×a×12+a×a×12=14a2.答案C5.(多选)已知四边形ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD连接AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积为零的是()A.⃗PC与⃗BDB.⃗DA与⃗PBC.⃗PD与⃗ABD.⃗PA与⃗CD解析⃗PC·⃗BD=(⃗PA+⃗AB+⃗BC)·(⃗BA+⃗AD)=⃗PA·⃗BA+⃗AB·⃗BA+⃗BC·⃗BA+⃗PA·⃗AD+⃗AB·⃗AD+⃗BC·⃗AD=-(⃗AB)2+(⃗BC)2≠0.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥CD,即⃗PA·⃗CD=0,又因为AD⊥AB,AD⊥PA,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥PB,所以⃗DA·⃗PB=0,同理⃗PD·⃗AB=0,因此B,C,D中的数量积均为0.故选B,C,D.答案BCD6.化简:(⃗AB−⃗CD)-(⃗AC−⃗BD)=.答案07.化简:12(a+2b-3c)+5(23a-12b+23c)-3(a-2b+c)=.答案56a+92b-76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为.解析|⃗AC'|2=|⃗AB+⃗BC+⃗CC'|2=⃗AB2+⃗BC2+⃗CC'2+2⃗AB·⃗BC+2⃗BC·⃗CC'+2⃗AB·⃗CC'=12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|⃗AC'|=√11.答案√119.在四面体ABCD中,E,F分别为棱AC,BD的中点,求证:⃗AB+⃗CB+⃗AD+⃗CD=4⃗EF.证明左边=(⃗AB+⃗AD)+(⃗CB+⃗CD)=2⃗AF+2⃗CF=2(⃗AF+⃗CF)=4⃗EF=右边,得证.10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是C1D1,D1D的中点,正方体的棱长为1.(1)求<⃗CE,⃗AF>的余弦值;(2)求证:⃗BD1⊥⃗EF.(1)解⃗AF=⃗AD+⃗DF=⃗AD+12⃗AA1,⃗CE=⃗CC1+⃗C1E=⃗AA1+12⃗CD=⃗AA1−12⃗AB.因为⃗AB·⃗AD=0,⃗AB·⃗AA1=0,⃗AD·⃗AA1=0,所以⃗CE·⃗AF=⃗AA1−12⃗AB·⃗AD+12⃗AA1=12.又|⃗AF|=|⃗CE|=√52,所以cos<⃗CE,⃗AF>=25.(2)证明⃗BD1=⃗BD+⃗DD1=⃗AD−⃗AB+⃗AA1,⃗EF=⃗ED1+⃗D1F=-12¿),所以⃗BD1·⃗EF=0,所以⃗BD1⊥⃗EF.能力提升练1.设点M是BC的中点,点A在直线BC外,⃗BC2=16,|⃗AB+⃗AC|=|⃗AB−⃗AC|,则|⃗AM|=()A.8B.4C.2D.1解析由|⃗AB+⃗AC|=|⃗AB−⃗AC|=|⃗CB|=|⃗BC|=4,又M为BC的中点,所以|⃗AM|=12∨⃗AB+⃗AC|=2.答案C2.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(⃗DB+⃗DC-2⃗DA)·(⃗AB−⃗AC)=0,则△ABC是()A.直角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.锐角三角形解析因为⃗DB+⃗DC-2⃗DA=(⃗DB−⃗DA)+(⃗DC−⃗DA)=⃗AB+⃗AC,所以(⃗AB+⃗AC)·(⃗AB−⃗AC)=|⃗AB|2-|⃗AC|2=0,所以|⃗AB|=|⃗AC|,即△ABC是等腰三角形.答案B3.如图,已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC等于()A.6√2B.6C.12D.144解析因为⃗PC=⃗PA+⃗AB+⃗BC,所以⃗PC2=⃗PA2+⃗AB2+⃗BC2+2⃗PA·⃗AB+2⃗PA·⃗BC+2⃗AB·⃗BC=36+36+36+2×36cos60°=144,所以PC=12.答案C4.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③对于任意向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为.解析对于①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a与b的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.答案③5.等边△ABC中,P在线段AB上,且⃗AP=λ⃗AB,若⃗CP·⃗AB=⃗PA·⃗PB,则实数λ的值为.解析设|⃗AB|=a(a>0),由题知,0<λ<1.如图,⃗CP=-⃗AC+⃗AP=-⃗AC+λ⃗AB,故⃗CP·⃗AB=(λ⃗AB−⃗AC)·⃗AB=λ|⃗AB|2-|⃗AB||⃗AC|cosA=a2λ-12a2,⃗PA·⃗PB=(-λ⃗AB)·(1-...
